Визначення середньої і граничної похибок та необхідної чисельності вибірки

Вибіркова сукупність має пізнавальне значення, оскільки дає уявлення (з певною ймовірністю) про показники генеральної сукупності. Але, як уже зазначалось, при вибірковому спостере­женні можуть виникати помилки спостереження. У разі несуцільного спостереження, зокрема вибіркового, крім помилок реєстрації можливі так звані помилки вибірки, або репрезента­тивності (відповідності), які виникають у зв'язку з тим, що відібрана частина сукупності має за досліджуваною ознакою де­що відмінну структуру порівняно з усією сукупністю.

Помилки реєстрації, як і при суцільному спостереженні, — це розходження між записаними даними в процесі спостереження і дійсними даними. Виникають вони внаслідок недбалого став­лення, неточності вимірювальних приладів, випадкової описки, різного розуміння тих чи інших положень інструкції чи статис­тичного формуляра.

Помилки репрезентативності — це розходження між се­редніми величинами або частками ознаки вибіркової і генераль­ної сукупностей. Помилки репрезентативності можуть бути сис­тематичними і випадковими.

Систематичні помилки репрезентативності виникають внаслідок порушення принципів проведення вибіркового спосте­реження. Вони мають тенденційний характер викривлення вели­чини досліджуваної ознаки в бік її збільшення або зменшення.

Випадкові помилки репрезентативності зумовлені тим, що вибіркова сукупність не відтворює точно середні і відносні показ­ники генеральної сукупності.

При організації вибіркового обстеження важливо уникнути систематичних помилок. Властиві вибірковому спостереженню випадкові помилки усунути неможливо, проте теорія вибірково­го методу дає математичну основу для обчислення розміру і виз­начення напрямів зменшення їх. Завдання полягає в тому, щоб максимально наблизити показники вибіркової сукупності до по­казників генеральної сукупності і знайти можливі межі відхилень цих показників, тобто найти помилку вибірки.

Обумовимо основні позначення статистичних характерис­тик, які будуть використовуватись при визначенні помилок вибіркового спостереження (табл. 6.1).

Таблиця 6.1. Умовні позначення статистичних характеристик
генеральної і вибіркової сукупностей

Характеристика	Сукупність
	генеральна	вибіркова
Обсяг сукупності	N	п
Середнє значення ознаки
Загальна дисперсія
Середня з групових дисперсій
Міжгрупова дисперсія
Частка елементів сукупно сті, які мають певні значення ознаки   Частка вибіркової сукупності в генеральній   Кількість серій   Дисперсія альтернативної ознаки	W     -     R	w     D     r

Достовірність вибіркового спостереження забезпечується роз­рахунками його помилок для середньої величини і для частки (пи­томої ваги) ознаки, що вивчається. Помилки вибірки (репрезента­тивності) позначаються символом (дельта) і є різницею між вибір­ковою середньою (часткою) і генеральною середньою (часткою):

- помилка вибірки для середньої величини;

помилка вибірки для частки.

Ці помилки складаються з помилок репрезентативності і помилок реєстрації. Величини помилок вибірки (репрезентатив­ності) в основному залежить:

по-перше, від обсягу вибірки, тому що зі збільшенням чис­ла досліджуваних одиниць результати вибірки все менше будуть відрізнятися від результатів генеральної сукупності;

по-друге, від варіації досліджуваної ознаки. Чим більше ва­ріює ознака, тим більше вибіркова середня (частка) відрізняється від генеральної середньої (частки). Оскільки основним показниками варіації ознаки є дисперсія і середнє квадратичне відхилен­ня, то можна стверджувати, що помилка вибірки перебуває у прямій залежності від величин цих показників;

по-третє, від способу і виду відбору вибіркової сукупності.

Для узагальнюючої характеристики помилок репрезента­тивності розраховують середню помилку вибірки , її називають ще стандартом. Для визначення середньої помилки репрезента­тивності вибірки застосовують формули (табл. 6.2):

Таблиця 6.2. Середня помилка вибірки

Спосіб відбору	Метод відбору
повторний	безповторний
Помилка вибірки для середньої величини
Випадковий і механічний
Типовий (районований)
Серійний
Помилка вибірки для частки
Випадковий і механічний
Типовий (районований)
Серійний

Особливість обчислення помилок репрезентативності для середньої величини при різних способах відбору полягає в тому, що для її обчислення в основу беруться різні показники дис­персій. При випадковому і механічному відборі для обчислення помилки вибірки використовується загальна дисперсія ² для се­редньої і w(1-w) — для частки.

Коли відбір одиниць здійснюється з окремих типово од­норідних груп, виділених за відповідною ознакою, варіації гру­пових середніх немає, і похибка типової вибірки залежить від середньої величини з групових для середньої і - для частки.

В разі серійної вибірки, яка передбачає суцільне спостережен­ня одиниць у відібраних серіях, похибка вибірки залежить не від числа обстежених одиниць сукупності, від кількості відібраних серій. Похибка вибірки залежатиме не від варіації ознаки у всій сукупності, а від варіації серійних середніх, яка вимірюється міжгруповою дисперсією середньої . При обчисленні середньої помилки вибірки для частки ознаки в основі розрахунку є міжгрупова (міжсерійна) дисперсія вибіркової частки .

Похибка вибірки для частки ознаки при серійному відборі зале­жить від числа серій у генеральній сукупності — R і числа відібра­них серій — r.

У формулах для обчислення помилок вибірки при безпов-торному відборі у підкореневий вираз формул повторного відбору додається множник

або .

Безповторний відбір гарантує точніші результати, оскільки він виключає можливість обстеження одних і тих самих одиниць при відборі з генеральної сукупності.

У статистичному аналізі часто постає потреба порівняння по­хибки вибірки різних ознак або однієї і тієї ознаки в різних сукуп­ностях. Такі порівняння виконують за допомогою відносної помил­ки, яка показує на скільки відсотків вибіркова оцінка може відхиля­тися від параметра генеральної сукупності. Відносна стандартна помилка середньої — це коефіцієнт варіації вибіркових середніх:

Для узагальнюючої характеристики помилки вибірки поряд із середньою розраховують і граничну помилку вибірки. ­Стверд­жувати, що дана генеральна середня не вийде за межі середньоїпомилки вибірки можна лише з певним ступенем імовірності.

У випадку вибіркового спостереження гранична помилка репрезентативності може бути більшою, чи дорівнювати, або меншою від середньої помилки репрезентативності . Тому гра­ничну помилку репрезентативності обчислюють з певною ймовірністю Р, якій відповідає t-разове значення . Відповідно до показника кратності помилки і формула граничної помилки репрезентативності має такий вигляд:

; ,

де — гранична помилка вибірки, — середня помилки вибірки, t — коефіцієнт довіри, який залежить від ймовірності, з якою га­рантується значення граничної помилки вибірки.

Формула граничної помилки вибірки випливає з основних положень теорії вибіркового методу, сформульованих у теоремах ймовірностей, що відображують закон великих чисел.

Однією із головних теорем, яку покладено в основу теорії вибіркового методу, є теорема П.Л. Чебишева, за допомогою якої він довів, що з ймовірністю, скільки завгодно близькою до одиниці, можна стверджувати, що при достатньо великому числі незалежних спостережень вибіркова середня буде мало відрізня­тися від генеральної середньої при проведенні повторної вибірки.

Академік А.А. Марков довів збереження цієї умови для за­лежних спостережень (без повторної вибірки). Академік А.М. Ляпунов дослідив, що ймовірність відхилень вибіркової се­редньої від генеральної середньої при достатньо великому обсязі вибірки та обмеженій дисперсії генеральної сукупності підпоряд­ковується закону нормального розподілу. Ймовірність цих відхи­лень при різних значеннях t визначається за формулою:

Значення цього інтеграла при різних значеннях tтабульовані і наводяться в спеціальних таблицях.

Гранична помилка вибірки розраховується за вибірковим спо­стереженням по-різному, залежно від видів і способів відбору. Вона дає можливість встановити, в яких межах лежать значення генера­льної середньої або частки.

За допомогою граничної похибеи вибірки визначають:

1. довірчі межі генеральної середньої і частки з певною ймовірністю;

2. ймовірність того, що відхилення між вибірковими і генеральними характеристиками не перевищує визначену величину;

3. необхідну чисельність вибірки, яка із заданою ймовірністю забезпечує очікувану точність вибіркових показників.

Під час вибіркового спостереження важливо правильно визначити необхідну чисельність обсягу вибірки, яка з відповідною ймовірністю забезпечує встановлену точність ре­зультатів спостереження. Надмірна чисельність вибірки призво­дить до затягнення строків дослідження, зайвих витрат часу і коштів, недостатня ж дає результати з великою похибкою репре­зентативності.

Визначення необхідної чисельності вибірки залежить від ал­гебраїчного перетворення формул граничної похибки вибірки при різних способах відбору. Формули необхідної чисельності вибірки при повторному і безповторному відборах наведені в таблиці 6.3:

Таблиця 6.3. Чисельність вибірки
Спосіб відбору	Визначення серед­ньої	Визначення частки
Повторний
Безповторний

Аналіз наведених в таблиці 6.3 формул дає підстави стверд­жувати, що чисельність вибірки залежить:

1. від розміру граничної помилки. Чим точніші результати треба одержати, тобто з меншою помилкою вибірки, тим більшою повинна бути чисельність вибірки;

2. від показників варіації ознаки та частки. Чим більші варіа­ції, тим більше треба взяти одиниць для вибіркового спос­тереження;

3. від ймовірності, з якою вимагається гарантувати результа­
ти вибірки. Чим більша ймовірність, тим більший ко­
ефіцієнт кратності, тим більшою повинна бути чисельність
вибірки.

У статистичній практиці вибіркове спостереження з вели­ких масивів генеральної сукупності часто здійснюють у вигляді комбінованої, ступінчастої або кількафазної вибірки. Вибіркова сукупність у разі комбінованої вибірки формується внаслідок ступінчастого відбору.

Загальна помилка для комбінованої вибірки складається з по­милок, які можливі на кожному ступені, і визначається як корінь квадратний з квадратів помилок відповідних вибірок.

Кінцевою метою будь-якого вибіркового спостереження є по­ширення його характеристик на генеральну сукупність. На прак­тиці застосовують різні способи поширення вибіркових даних.

Спосіб прямого перерахунку використовують у тому випад­ку, коли метою вибіркового обстеження є визначення обсягу оз­наки в генеральній сукупності.

Якщо вибіркове спостереження проводять з метою уточ­нення результатів суцільного спостереження, застосовують спосіб поправочних коефіцієнтів.