Кореляційно-регресійний аналіз зв’язку, його суть, завдання та основні етапи

Кореляційний аналіз – метод математичної статистики, що вивчає кореляційні (статистичні) зв'язки. Кореляція – це співвідношення або відповідність.

Абстрактно-математичну його сторону більш глибоко і детально розглядають в курсі математичної статистики. Ми ж розглянемо вживання методів кореляційного аналізу у вивченні зв'язків соціально-економічних явищ.

В статистиці розрізняють такі варіанти кореляційних зв'язків.

1 Парна кореляція, тобто залежність між двома ознаками – результатною і факторною (або двома факторними).

2 Множинна кореляція – залежність між результатною та двома і більше факторними ознаками.

В теорії статистики найбільш розробленою є методологія парної кореляції, оволодіння якою дозволяє пізнати методику вивчення інших варіантів кореляційних зв'язків.

Тому ми і зупинимося перш за все на розгляді парної кореляційної залежності.

Необхідно відзначити, що при вивченні кореляційних зв'язків статистика, разом з кореляційним, використовує і регресійний аналіз. Тому корректно було б сказати про вживання методів КРА у вивченні кореляційних зв'язків, але скорочено говорять просто – кореляційний аналіз.

Ці два методи вирішують різні задачі, але в цілому слугують єдиній меті: вивченню взаємозв'язків соціально-економічних явищ, їх вимірюванню і кількісному вираженню.

Отже, за допомогою методів КРА вирішуються два основних завдання.

1) Виявлення форми зв'язку і параметрів рівняння зв'язку (це задача регресійного аналізу).

2) Визначення щільності зв'язку (задача кореляційного аналізу).

Перше завдання розв’язується за допомогою вказаних вище методів виявлення зв’язку і полягає у підборі математичної формули (рівняння зв'язку), яка виражає залежність між результатною і факторною ознаками.

Друга задача розв’язується методами кореляційного аналізу шляхом розрахунку показників, що характеризують щільність зв'язку між ознаками:

- лінійного коефіцієнта кореляції;

- кореляційного відношення;

- коефіцієнта детермінації;

- індекса кореляції.

Схематично КРА можна подати у вигляді таких основних етапів:

1) відбір найбільш суттєвих факторів для аналізу;

2) встановлення наявності зв'язку між ознаками, що вивчаються, за допомогою вказаних вище методів;

3) визначення характеру зв'язку, його напряму і форми, тобто підбір математичного рівняння, що виражає залежність між x і y;

4) визначення параметрів рівняння і показників щільності зв'язку;

5) статистична оцінка показників щільності зв'язку.

Найскладнішим і відповідальним етапом КРА є підбір рівняння, що характеризує сутність зв'язку. При парній кореляції рівняння зв'язку може бути встановлене за допомогою побудови кореляційного поля, складання кореляційних таблиць, перегляду різних функцій.

Якщо обсяг досліджуваної сукупності не дуже великий, то доцільно побудувати кореляційне поле, загальний вид якого вкаже характер зв'язку, його напрям і форму.

Тобто, по загальному розташуванню точок кореляційного поля можна установити форму залежності і виразити її відповідним рівнянням:

– лінійна форма рівнянням прямої лінії:

;

– нелінійна форма рівняння різного роду кривих ліній:

· параболи 2-го порядку, або вищих порядків

· гіперболи

· показникової функції та ін.

В економічних явищах і процесах найбільш часто зустрічається лінійна форма зв'язку.

Якщо ж використовуються рівняння нелінійного виду, то застосовують прийом «лінеаризації» функцій, тобто приведення їх до лінійного вигляду.

Це пояснюється тим, що параметри лінійного рівняння легше економічно інтерпретувати.

Якщо аналіз розміщення точок кореляційного поля показав лінійну форму зв'язку, то шукане рівняння матиме вигляд

,

де – залежна змінна (результат) (y вирівняний по x);

x – незалежна змінна (фактор);

a, b – параметри прямої лінії,

де a – початок відліку або значення при x = 0 (не має економічного сенсу);

b – коефіцієнт регресії, який показує середню зміну y при кожній зміні x на одну одиницю.

Коефіцієнт регресії (b) завжди число іменоване.

Якщо: b> 0, то зв'язок прямий;

b< 0, зв'язок обернений;

b = 0, зв'язок відсутній.

Підібране рівняння називається рівнянням регресії або кореляційним рівнянням. Його основне завдання – встановлення кількісного взаємозв'язку між ознаками.

Невідомі параметри рівняння a і b визначають методом найменших квадратів з системи нормальних рівнянь.

Суть його в тому, що на полі кореляції визначається така теоретична лінія регресії, яка у порівнянні з іншими гіпотетичними лініями, найбільш близько розташована до усіх точок поля (що зображає фактичні дані).

Тобто ця лінія дає найменшу суму квадратів відхилень фактичних значень результатної ознаки від вирівняних (теоретичних) значень

.

Якщо аналіз поля кореляції чи аналітичного групування свідчить про те, що між ознаками, які вивчаються існує лінійний зв'язок, який можна виразити рівнянням прямої лінії, то нам потрібно визначити параметри цього рівняння і вирівняні (теоретичні) значення результатної ознаки y шляхом підстановки в дане рівняння фактичних значень ознаки x (із умови задачі). При цьому сума значень результатної ознак фактичної та вирівняної повинна бути онаковою.

Параметри a і b визначаються шляхом розв’язання системи нормальних рівнянь, яка для парного лінійного зв'язку має вигляд

,

де n – кількість елементів факторної ознаки x.

Також параметри a і b шуканої прямої можна визначити і за такими формулами:

, .