Общая постановка задачи нахождения границы эффективных портфелей.

Если портфель состоит из более чем двух ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи E(r_n)необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсий портфеля

(7.1)

при заданных начальных условиях

(7.2)

(7.3)

Существуют три способа решения подобного рода задач – графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n> 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего nценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) nзначений ожидаемой доходности E(r_i), где i= 1, 2,…, для каждой из n ценных бумаг в портфеле;

б) nзначений дисперсий σ²_iдлякаждой ценной бумаги;

в) значений ковариации σ_i,j, где i,j= 1, 2,…, n .

Способы их вычисления приведены выше. Если подставить значения E(r_i), σ_i и σ_i,j в уравнения (7.1) (7.3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины W_i– “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из nакций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности E(r_{портфеля})инвестор должен найти такие значения W_i, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения E(r_{портфеля})инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Нахождение оптимального портфеля.В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(r_{портфеля}) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E(r_{портфеля}) и σ , поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальномпортфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальныйпортфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.