Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов W_i каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить nзначений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(r_i)каждой ценной бумаги, nвеличин σ²_iдисперсий всех норм отдачи и выражений по-парных ковариаций σ _i,jценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист У.Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одно-индексная модель Шарпа (Sharpe singleindex model ).

Общее описание модели.В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа . В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность r_m, вычисленную на основе индекса Standart and Poor s (S & P 500). В качестве зависимой переменной берется доходность r_i какой-то i ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model),а доходность r_mдоходностью рыночногопортфеля.

Пусть доходность r_mпринимает случайные значения, и в течение Nшагов расчета наблюдались величины r_m1, r_m2, ... , r_mN. При этом доходность r_iкакой-то i ой ценной бумаги имела значения r_i1, r_i2, ... , r_iN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами r_m и r_i в любой наблюдаемый момент времени в виде:

(7.4)

где: r_i,t доходность i ой ценной бумаги в момент времени t (например, 31 декабря 2010 года);

ά_i параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг r_m ;

β_i параметр линейной регрессии, называемый бета,показывающий чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

r_m,t доходность рыночного портфеля в момент t ;

ε_it случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения r_i,t и r_m,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру β_i, поскольку он определяет чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если β_i >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность r_m . Соответственно, при β_i< 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности r_j от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r_i), чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом β_i >1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с β_i < 1 менее рискованными.