Спектры сигналов с угловой модуляцией

Формулу (18) однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

u(t) = U_нcos(b×sinWt) cos(w_ot)–U_нsin(b×sinWt) sin(w_ot). (20)

При малых значениях индекса угловой модуляции (b <<1, узкополосная модуляция) имеют место приближенные равенства:

cos(b×sinWt) » 1, sin(b×sinWt) » b×sinWt.

При их использовании в (20), получаем:

u(t)»U_нcosw_ot–U_нb×sinWt sin(w_ot)»

»U_нcosw_ot+(b×U_н/2)cos(w_o+W)t+(–bU_н/2)cos(w_o–W)t. (21)

Сравнение данного выражения с формулой АМ – сигнала (5) позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ФМ и ЧМ сигналов при b<<1 практически аналогичны АМ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты w_o+W и w_o –W. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 180⁰ относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ЧМ сигналы изменением на 180^о начальной фазы одной из боковых полос. Заметим также, что при малых значениях индекса b основная мощность сигнала приходится на несущую частоту.

Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции b в общем случае получается разложением

функции (21) в следующий ряд:

u(t)=U_н J_k(m) cos[(w_o+kW)×t],

где J_k(m) – функция Бесселя k-го индекса от аргумента m=b.

Из этого уравнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих – нижних и верхних боковых колебаний, с частотами w_o±kW, которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и их амплитуды, пропорциональны значениям J_k(m). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при U_н = 1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рис. 12.

При малой величине индекса b значимые амплитудные значения имеют только первые гармоники. С ростом величины b количество значимых боковых составляющих увеличивается, а энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты ω_о спадает немонотонно. На рис. 14 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота w_o в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма физических амплитудный спектров модулированных сигналов относительно несущей частоты при разных индексах модуляции приведена на рис. 14.

Рис. 14. Амплитуды гармоник сигналов с угловой модуляцией

Пояснение: Функции Бесселя первого рода.

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми J_α(x), являются решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых α):

Здесь Γ(m+α+1) – это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (рис. 15).

Рис. 15. График функции Бесселя

Ниже приведены графики J_α(x) для α = 0, 1, 2.

Если α не является целым числом, функции J_α(x) и J_−α(x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения.

Если α целое, то верно следующее соотношение: .

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода.

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется (рис. 16). Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

П_практ = 2(b+1)W, (22)

т.е. спектральными составляющими с номерами k>(b+1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при b>>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

П_практ » 2bW = 2w_d. (23)

Рис. 16. Модули спектров ЧМ сигнала при разных индексах модуляции.

(несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц,

шкала частот в Гц относительно несущей)

Отсюда следует, что по сравнению с АМ-сигналами, полоса частот которых равна 2W, для передачи сигналов с угловой модуляцией требуется полоса частот, в b раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ЧМ и ФМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.

Для функций Бесселя имеет также место: J_–k(m) = (–1)^kJ_k(m). Это означает, что начальные фазы боковых колебаний с частотами w_o+kW и w_o–kW совпадают при четных k, и отличаются на 180^о при нечетных k.

Сигналы с многотональной угловой модуляцией отличаются еще большей сложностью спектрального состава. В их спектре присутствуют не только боковые частоты с гармониками частот модулирующего сигнала, но и боковые комбинационные частоты типа w_o ± W₁ ± W₂ ± ...W_i, со всеми возможными комбинациями частот модулирующего сигнала W_i. При непрерывном спектре модулирующего сигнала спектры ЧМ и ФМ сигналов также становятся непрерывными.