Экспериментальный анализ случайной величины

Случайной величиной (СВ) называют такую величину, значения которой изменяются при повторении опытов некоторым, заранее не предсказуемым образом. f(x). Для случайной величины нельзя заранее точно сказать, какое конкретное значение она примет в определенных условиях, а можно только указать закон ее распределения. Закон распределения считается заданным, если:

– указано множество возможных значений случайной величины,

– указан способ количественного определения вероятности попадания случайной величины в любую область множества возможных значений.

Вероятностьпопадания в заданную область может быть определена следующим образом:

, (1.1)

где N_m – количество наблюдений СВ, оказавшихся в заданной области,

N – общее число наблюдений (частотное определение вероятности).

Аналитическими выражениями законов распределения случайных величин являются функции распределения вероятностей – интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения F(x) случайной величины X показывает вероятность того, что СВ не превышает некоторого заданного или текущего значения x.

F(x) = P{X ≤ x} (1.2)

Следовательно, вероятность того, что значение СВ X заключено между x₁ и x₂ равна разности значений функции распределения, вычисленных в этих двух точках:

P{x₁ < X ≤ x₂} = F(x₂) – F(x₁). (1.3)

Аналогично,

P{X > x} = 1 – F(x). (1.4)

Свойства интегральной функции распределения СВ:

1. ; 3. F(x) ≥ 0 для всех x;

2. ; 4. F(x₂) ≥ F(x₁), если x₂ > x₁.

Если функция F(x) дифференцируема для всех значений СВ Х, то закон распределения вероятностей может быть выражен с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

(1.5)

Таким образом, значение функции f(x) приближенно равно отношению вероятности попадания СВ в интервал (x, x+Δx) к длине Δx этого интервала, когда Δx – бесконечно малая величина. Поэтому функцию f(x) называют также функцией плотности распределения вероятностей (функцией плотности вероятности).

Основные свойства дифференциальной функции распределения вероятностей:

1. f(x) ≥ 0; 2. ;

3. ; (z – переменная интегрирования) 4.

С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения СВ в любой области из множества ее возможных значений. В частности,

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Как интегральная, так и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако некоторые основные свойства СВ могут быть описаны более просто с помощью определенных числовых параметров. Наибольшую роль среди них на практике играют роль два параметра, характеризующие центр рассеяния (центр распределения) СВ и степень ее рассеяния вокруг этого центра.

Наиболее распространенной характеристикой центра распределения является математическое ожидание m_x случайной величины Х (часто называемое также генеральным средним значением):

(1.9)

Степень рассеяния СВ Х относительно m_x может быть охарактеризована с помощью генеральной дисперсии :

(1.10)

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением .

Зачастую для описания практической ситуации оказывается необходимым использование одновременно нескольких (в простейшем случае – двух) случайных величин. Для задания вероятностных свойств двух СВ X, Y используются двумерные (совместные) функции распределения вероятностей: интегральная F(x,y) и дифференциальная f(x,y). Функция F(x,y), характеризующая вероятность того, что первая СВ принимает некоторое значение, меньшее или равное x, а вторая – значение, меньшее или равное y, называется интегральной функцией совместного распределения двух случайных величин:

F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y}. (1.11)

Как и для одной непрерывной СВ, если функция F(x,y) достаточно гладкая, то ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная дифференциальная функция распределения вероятностей (двумерная плотность вероятности):

f(x, y) = ∂²F(x, y) ⁄ ∂x∂y. (1.12)

По известной двумерной плотности f(x,y) можно определить частные (одномерные) функции распределения f(x), f(y) каждой случайной величины:

(1.13)

Как и в одномерном случае, основные свойства двумерной совокупности величин X, Y могут быть охарактеризованы с помощью ряда числовых параметров. В качестве наиболее употребительных параметров используются математическое ожидание и дисперсия соответствующей СВ: m_x, m_y, , . Для двумерной совокупности могут быть построены параметры, характеризующие степень взаимозависимости переменных X и Y. Простейшими из них являются ковариация двух случайных величин (называемая также корреляционным моментом)

(1.14)

а также нормированный показатель связи – коэффициент корреляции