Экспериментальный анализ одномерной случайной величины

Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных x₁, x₂,…x_N. Обработку этих данных для получения эмпирических характеристик одномерной СВ производят обычно в следующей последовательности.

1 Построение вариационного ряда (ряда распределения) Вариационный ряд z₁, z₂,…z_N получают из исходных данных путем расположения x_m (m=1,2,…,N) в порядке возрастания от x_min до x_max так, чтобы x_min= z₁ ≤ z₂ ≤…≤ z_N = x_max.

2 Построение диаграммы накопленных частот. Диаграмма накопленных частот является эмпирическим аналогом интегрального закона распределения. Диаграмму строят в соответствии с формулой

(1.16)

где μ_N (x) – число элементов в выборке, для которых значение x_i < x.

При построении диаграммы на оси абсцисс указывают значения наблюдений x_m (или z_l). Значение по оси ординат равно нулю левее точки x_min и далее во всех других точках x_m диаграмма имеет скачок равный 1/N. Если существует несколько совпадающих значений x_m, то в этом месте на диаграмме происходит скачок, равный λ/N, где λ – число совпадающих точек. Для величин x > x_max значение диаграммы накопленных частот равно 1. При N → ∞ → F(x).

3 Построение гистограммы выборки Гистограмма является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(x). Этапы построения гистограммы:

— Нахождение предварительного количества квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось Ox. Это количество К определяется с помощью оценочной формулы

K = 1 + 3,2lgN (1.17)

Найденное значение необходимо округлить до ближайшего целого.

— Определение длины интервала

∆x = (x_max – x_min) / K (1.18)

Величину ∆x можно округлить для удобства вычислений.

— Середину области изменения выборки (центр распределения) (x_max+x_min)/2 принимают за центр некоторого интервала, после чего определяют границы и окончательное количество указанных интервалов так, чтобы в совокупности они перекрывали всю область от x_min до x_max.

— Подсчет количества наблюдений N_m, попавших в каждый квант: N_m равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство

x_m ≤ z_l < x_m + ∆x,

где x_m и x_m + ∆x – границы m-го интервала. Значения z_l, попавшие на границу между (m-1)–м и m –м интервалами, относят к m –му интервалу.

— Подсчет относительного количества (относительной частоты) наблюдений N_m/N, попавших в данный квант.

— Построение гистограммы, которая представляет собой ступенчатую кривую, значение которой на m –м интервале (x_m, x_m + ∆x) постоянно и равно N_m/N.

4 Определение оценок математического ожидания , дисперсии и среднего квадратического отклонения

(1.19)

(1.20)

. (1.21)