Решение типового примера. Если в эксперименте рассматриваются четыре фактора (k=4), то в предполагаемой линейной имитационной математической модели

Если в эксперименте рассматриваются четыре фактора (k=4), то в предполагаемой линейной имитационной математической модели, соответствующей полиному первого порядка, имеем

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₁₂X₁X₂+b₁₃X₁X₃+

+b₁₄X₁X₄+b₂₃X₂X₃+b₂₄X₂X₄+b₃₄X₃X₄+b₁₂₃X₁X₂X₃+ (7.7)

+b₁₂₄X₁X₂X₄+b₂₃₄X₂X₃X₄+b₁₃₄X₁X₃X₄+b₁₂₃₄X₁X₂X₃X₄.

При планировании ПФЭ типа 2⁴, необходимо было бы провести минимум 16 опытов для определения 16-ти коэффициентов, входящих в полином (7.6).

Полуреплика от этого плана ПФЭ будет включать 8 опытов, а соответствующую матрицу ДФЭ типа 2^4-1 можно построить на базе матрицы планирования ПФЭ типа 2³, заменив одно из взаимодействий, приведенных в таблице 6.2, на четвертый фактор.

Рассмотрим в качестве генерирующих соотношений одно, из числа низкого порядка, например X₄=X₁X₂, а другое – из числа самого высокого порядка, в данном случае X₄=X₁X₂X₃.

На основании выбранных ГС найдем соответствующие ОК:

1=X₁X₂X₄; 1=X₁X₂X₃X₄.

С помощью найденных ОК составим две системы совместных оценок:

X₁=X₂X₄, X₁=X₂X₃X₄,

X₂=X₁X₄, X₂=X₁X₃X₄,

X₃=X₁X₂X₃X₄, X₃=X₁X₂X₄,

X₄=X₁X₂, X₄=X₁X₂X₃,

X₁X₃=X₂X₃X₄, X₁X₂=X₃X₄,

X₂X₃=X₁X₃X₄, X₁X₃=X₂X₄,

X₃X₄=X₁X₂X₃, X₂X₃=X₁X₄.

Приведенные оценки двух полуреплик от ПФЭ 2⁴ получены для двух выбранных ГС, когда взаимодействия факторов приравниваются к независимой переменной (в данном случае, к четвертому линейному фактору X₄). При ГС X₄=X₁X₂ (левая колонка системы совместных оценок), член, учитывающий парное взаимодействие факторов X₁ и X₂ (b₁₂X₁X₂) будет заменен в уравнении (6.5), а следовательно, и в матрице (таблица 6.2), на член, учитывающий влияние четвертого фактора X₄ на функцию отклика, что соответствует плану ДФЭ 2^4-1 и имитационной математической модели вида

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₁₃X₁X₃+b₂₃X₂X₃+b₁₂₃X₁X₂X₃ (7.8)

Для ГС X₄=X₁X₂X₃ план ДФЭ 2^4-1 будет соответствовать модели вида

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₁₂X₁X₂+b₁₃X₁X₃+b₂₃X₂X₃ (7.9)

В обоих случаях потребуется провести 8 опытов для определения 8 коэффициентов, входящих в уравнения (7.8) и (7.9).

Однако разрешающая способность дробной реплики ГС X₄=X₁X₂X₃ для раздельной оценки коэффициентов b₁, b₂, b₃, b₄ при линейных членах полинома будет выше потому, что все линейные факторы не смешаны с парными взаимодействиями, в то время, как для ГС X₄=X₁X₂ три из четырех линейных факторов смешаны с парными взаимодействиями.

Задачи для решения

В таблице приведены результаты проведения дробного факторного эксперимента. Провести обработку и анализ результатов ДФЭ по рассмотренной методике.

Контрольные вопросы

1. Что называется дробным факторным экспериментами?

2. В каких случаях возможно планирование ДФЭ?

3. Как можно оценить разрешающую способность матрицы ДФЭ?

4. Что такое генерирующее соотношение и как оно выбирается?

5. Что такое определяющий контраст и как с его помощью составляется система совместных оценок?

6. Указать преимущества факторного планирования эксперимента перед другими способами проведения активного эксперимента и пассивным экспериментом?