Дробный факторный эксперимент

При большом числе учитываемых в эксперименте факторов ПФЭ становится громоздким и занимает очень большое время для своего проведения, так как число опытов с ростом учитываемых в эксперименте факторов увеличивается по экспоненте. Но при этом уменьшаются ошибки при определении коэффициентов полинома, так как для оценки каждого из них используются все опыты.

Число опытов можно сократить, если априорно известно, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодействия. В этом случае можно использовать дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Дробным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента.

Предположим, что необходимо получить математическое описание процесса при трех учитываемых факторах X₁, X₂, и X₃, оказывающих влияние на функцию отклика Y.

При использовании ПФЭ для определения коэффициентов полинома 1-го порядка необходимо провести восемь (2³) опытов в соответствии с матрицей планирования, приведенной в таблице 6.2. Число номеров опытов должно быть не менее числа коэффициентов полинома, в соответствии с которым планируется эксперимент. В данном случае предполагаемая математическая модель, описывающая исследуемый процесс, имеет вид полинома (6.5), содержащего восемь коэффициентов от b₀ до b₁₂₃. Однако, если взаимодействие между факторами X₁, X₂ и X₃ отсутствует, можно воспользоваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов X₁ и X₂, приведенной в таблице 6.1, заменив в ней обозначение X_1бX_2б на X_3б, соответствующее безразмерному значению фактора X₃ на верхнем и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце остается неизменным после замены символов в матрице планирования. Эксперимент в данном случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу X_1бX_2б ПФЭ (таблица 6.1), а предполагаемая математическая модель будет иметь вид полинома 1-го порядка, не учитывающего взаимодействия факторов, то есть

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃ (7.1)

Такой сокращенный план содержит половину опытов от требуемого их числа 2^k согласно плану ПФЭ (в данном случае четыре опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ типа 2^k. Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2^k-L, где k – число учитываемых в эксперименте факторов; L – число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в эксперименте.

Для рассматриваемого случая трех факторов X₁, X₂, X₃ матрица планирования ДФЭ типа 2^3-1 (X_3б=X_1бX_2б) будет иметь вид (табл. 7.1):

Таблица 7.1 Матрица планирования ДФЭ типа 2^3-1 (X_3б=X_1бX_2б)

Приведенное планирование эксперимента дает возможность при обработке и анализе его результатов оценить в полиноме (3.17) свободный член b₀ и коэффициенты b₁, b₂, b₃.Однако при этом предполагается, что коэффициенты b₁₂, b₁₃, b₂₃, b₁₂₃ в полиноме (6.5) равны нулю. Поэтому составление такой матрицы планирования эксперимента возможно лишь в том случае, если полностью отсутствует или пренебрежительно мало влияние на функцию отклика эффектов взаимодействия факторов исследуемого процесса. Только в этом случае математическая модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учитывающие эти взаимодействия (так как соответствующие им коэффициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому процессу.

При использовании матрицы планирования ДФЭ мы получаем совместную оценку нескольких эффектов: факторов и их взаимодействий:

X_1б=X_2бX_3б, X_2б=X_1бX_3б, X_3б=X_1бX_2б (7.2)

Поэтому подсчитываемые значения линейных коэффициентов b₁, b₂, b₃ полинома по экспериментальным значениям функции отклика будут включать также значения коэффициентов, учитывающих эффект влияния взаимодействия факторов на функцию отклика. В результате коэффициенты полином (7.1) будут иметь следующий вид:

b'₁ = b₁+b₂₃,

b'₂ = b₂+b₁₃, (7.3)

b'₃ = b₃+b₁₂,

где b₁, b₂, b₃ – действительные значения линейных коэффициентов полинома;

b'₁, b'₂, b'₃ – полученные их значения при наличии эффекта влияния взаимодействия факторов на функцию отклика.

Для получения математической модели вида (7.1), адекватной исследуемому процессу, необходимо быть уверенным в отсутствии влияния взаимодействия факторов на экспериментальное значение функции отклика. Только при этом условии подсчитанные коэффициенты b'_i будут искомыми значениями линейных коэффициентов b_i. Если это условие не выполняется, то найденные значения линейных коэффициентов b'_i будут отличаться от действительного значения b_i на величину коэффициента b_ij , учитывающего эффект влияния парного взаимодействия двух других факторов (7.3).

Эти эффекты не могут быть раздельно оценены при планировании, состоящем только из одной полуреплики ПФЭ. Раздельную оценку для линейных коэффициентов b_i и коэффициентов b_ij можно провести, если поставить дополнительно еще четыре опыта в соответствии с матрицей планирования ДФЭ типа 2^3-1, приравнивая X_3б= – X_1бX_2б, тогда матрица будет иметь вид (таблица 7.2):

Таблица 7.2 –Матрица планирования ДФЭ типа 2^3-1 (X_3б= – X_1бX_2б)

Подсчитанные коэффициенты b'_i линейных членов полинома (7.1) будут включать реальные значения коэффициентов b₁₂, b₁₃, b₂₃, но в отличии от (7.3) совместная оценка коэффициентов будет происходить с обратным знаком:

b''₁ = b₁ – b₂₃,

b''₂ = b₂ – b₁₃, (7.4)

b''₃ = b₃ – b₁₂.

Изменение знака объясняется тем, что для матрицы ДФЭ 2^3-1 взаимозависимость значений факторов имеет вид

X_1б = -X_2бX_3б, X_2б = -X_1бX_3б, X_3б = -X_1бX_2б (7.5)

Теперь после постановки уже восьми опытов в соответствии с приведенными планами можно записать раздельные оценки

b₁=(b'₁+b''₁)/2; b₂=(b'₂+b''₂)/2; b₃=(b'₃+b''₃)/2; (7.6)

b₂₃=(b'₁–b''₁)/2; b₁₃=(b'₂–b''₂)/2; b₁₂=(b'₃–b''₃)/2.

Таким образом, для получения раздельных оценок b_i и b_ij необходимо было провести восемь опытов, то есть пришлось объединить две полуреплики от ПФЭ типа 2³. Поэтому практически всегда имеет смысл начинать исследования с ДФЭ. Если в дальнейшем появятся сомнения в том, что какие-либо взаимодействия, ранее не включенные в план эксперимента, могут влиять на выходной параметр, то всегда имеется возможность расширить матрицу планирования до ДФЭ меньшей дробности или ПФЭ и найти раздельную оценку интересующих эффектов.

В случае применения матриц планирования ДФЭ для исследования процессов, содержащих более трех факторов, нужно стремиться к тому, чтобы максимальное число линейных факторов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Чем более высокие уровни взаимодействия будут заменены факторами из числа рассматриваемых в эксперименте, тем более высоким уровнем разрешающей способности для раздельной оценки коэффициентов полинома будет обладать матрица ДФЭ.

Для формализации процедуры определения разрешающей способности дробной реплики, представленной в виде матрицы планирования ДФЭ при фиксированных k и l, вводятся понятия генерирующего соотношения (ГС) и определяющего контраста (ОК).

В примере с тремя факторами X₁, X₂ и X₃ генерирующими соотношениями являются X_3б=X_1бX_2б и X_3б= – X_1бX_2б, каждое из которых характеризует соответствующую полуреплику от ПФЭ типа 2³.

Выражения ОК получаются умножением левой и правой частей приведенных ГС на их левую часть, то есть на X_3б. При этом получаются элементы столбца матрицы планирования ДФЭ, соответствующие свободному члену b₀ полинома, которые всегда равны единице, так как X²_iб=1:

1 = X_1бX_2б X_3б; 1 = – X_1бX_2б X_3б.

Определяющие контрасты позволяют определить всю систему совместных оценок факторов и взаимодействий, не изучая матрицы планирования. Для этого последовательно умножают обе части ОК на соответствующие эффекты и получают всю картину совместных оценок данной матрицы ДФЭ.

Имея систему совместных оценок, можно формализовать процедуру построения плана ДФЭ, обеспечивающего высокую разрешающую способность при определении коэффициентов полинома.

Чтобы получить высокую разрешающую способность, стремятся таким образом построить план ДФЭ, чтобы линейные факторы были смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка (они чаще бывают равными нулю) или с теми взаимодействиями, о которых априорно известно, что они не оказывают влияния на процесс. Оценить разрешающую способность помогает ГС, чем больше символов входит в ГС, тем обычно выше разрешающая способность.

По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов можно применять реплики большей степени дробности (1/4, 1/8 и т.д.). При этом с ростом числа независимых переменных (учитываемых факторов) растет разрешающая способность дробных реплик, так как для линейной имитационной модели (3.3), соответственно возрастает порядок взаимодействия факторов и количество членов полинома, учитывающих эти взаимодействия, а следовательно, увеличивается точность оценки коэффициентов при линейных членах, смешанных с взаимодействиями высокого порядка. Число опытов, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики для раздельной оценки коэффициентов полинома, должно быть не менее числа коэффициентов в предполагаемой имитационной модели, включая коэффициент b₀.

Реализация плана ДФЭ ничем не отличается от реализации плана ПФЭ.

Обработку и анализ результатов дробного факторного эксперимента проводят в полном соответствии с методикой, изложенной для ПФЭ.