Задачи для решения. 1. Используя метод насыщенных планов определить существенные факторы

1. Используя метод насыщенных планов определить существенные факторы. К результатам опытов из табл.5.9 прибавить номер выполняемого варианта.

2. Используя метод насыщенных планов определить существенные факторы. К результатам опытов из табл.5.10 прибавить номер выполняемого варианта.

Таблица 5.9

Таблица 5.10

Контрольные вопросы

1. Чем ограничивается применение метода насыщенных планов при исследовании технологических процессов?

2. Почему при реализации метода сверхнасыщенных планов рекомендуется разбивать факторы на группы с учетом особенностей технологического процесса?

3. Почему общая матрица планирования эксперимента в методе сверхнасыщенных планов строится путем случайного смешивания строк групповых планов?

4. Каковы условия применения метода случайного баланса и почему они не мешают широкому использованию этого метода при исследовании технологических процессов?

5. Почему на каждой последующей серии диаграмм рассеивания повышается точность оценки рассматриваемых эффектов?

6. Где производится более точная оценка фактора: на диаграмме рассеивания или с помощью вспомогательных таблиц и рассчитываемых с их помощью коэффициентов регрессии?

7. Какова общая стратегия исследования при определении факторов, влияющих на процесс?

МОДУЛЬ 2 «АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Планирование эксперимента

Основной целью проведения современного эксперимента является разработка математической модели, адекватно описывающей процесс и позволяющей осуществлять управление производством.

При планировании эксперимента исследователь должен:

– обеспечить высокую надежность и четкость интерпретации результатов экспериментальных исследований;

– составить четкую и последовательную логическую схему построения всего процесса исследования;

– максимально формализовать процесс разработки модели и сопоставления экспериментальных данных различных опытов одного и того же объекта исследований с целью широкого применения электронно-вычислительных средств.

Всем требованиям отвечают статистические методы планирования эксперимента. Статистические методы планирования активного эксперимента являются одним из эмпирических способов получения математического описания статики сложных объектов исследования, то есть уравнения связи отклика объекта и независимых управляемых входных переменных (факторов). При этом математическое описание представляется в виде полинома

, (6.1)

где Y – функция отклика;

X₁, X₂, …, X_k – факторы исследуемого процесса.

Первый этап исследования – составление плана эксперимента, который определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве, иначе говоря, условия для всех опытов, которые необходимо провести. Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка которой определяет условия опыта, а каждый столбец – значения контролируемых и управляемых параметров в исследуемом процессе, то есть значения факторов, соответствующих условию опыта. В последний столбец матрицы заносят значения функции отклика, полученные экспериментальным путем в каждом опыте, проведенным в соответствии с условиями, указанными в строках матрицы планирования эксперимента.

Первый шаг – выбор центра плана, то есть точки, соответствующей начальному значению всех используемых в эксперименте факторов (x₁₀, x₂₀, …, x_k0), в окрестностях которой в дальнейшем ставится серия планируемых опытов. Начальным значениям факторов будет соответствовать начальное значение функции отклика y₀. Центр плана обычно выбирается на основе априорных сведений о процессе. Если же их нет, то обычно в качестве центра плана принимается центр исследуемой области.

Второй шаг – задание интервала варьирования. Значения факторов в каждом опыте, в случае применения матрицы планирования эксперимента, отличается от начального их значения x_i0 на величину интервала Δx. Одним из важнейших предварительных условий успешного проведения эксперимента с целью разработки математической модели, адекватной исследуемому процессу, является выбор оптимальной величины Δx. Обычно интервал варьирования выбирают в пределах 0,05 … 0,3 от диапазона варьирования исследуемого фактора.

Третий шаг – для удобства обработки результатов опытов, проводится преобразование значений управляемых переменных (учитываемых в эксперименте факторов x_i) к безразмерным величинам

x_iб = (x_i – x_i0)/Δx_i, (6.2)

где x_i0 – базовое или начальное значение i-го фактора в центре плана;

Δx_i – значение интервала варьирования по i-му фактору;

x_i – текущее значение i-го фактора.

Пример Пусть базовое значение температуры подложки – одного из факторов исследуемого процесса получения резистивных пленок рения равно x₁₀=300⁰С. При этом шаг варьирования по этому фактору Δx₁=50⁰С. Варьирование значений фактора относительно его базового значения проводится на двух уровнях (рисунок 6.1).

Δx₁ Δx₁

x₁,⁰C

Рисунок 6.1 – Результаты пошагового варьирования фактора

Переходя от абсолютных значений рассматриваемого фактора к безразмерным его значениям, получим в соответствии с (6.2) для верхнего уровня рассматриваемого фактора x_1б = (x₁ – x₁₀)/Δx₁=(350-300)/50 = +1, для нижнего – x_1б = (250–300)/50 = –1.

Таким образом, в безразмерной системе координат верхний уровень фактора при проведении эксперимента равен +1, а нижний –1. Координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. При составлении матрицы планирования эксперимента верхний и нижний уровни переменных для упрощения записи можно заменять символами (+) и (–).

Второй этап исследования. Разработку модели процесса следует проводить по принципу «от простого – к более сложному». В соответствии с этим принципом, планирование эксперимента начинают с предположения, что имитируемая модель исследуемого процесса является линейной и в соответствии с (6.1) имеет вид полинома 1-го порядка

(6.3)

Если после обработки и анализа результатов эксперимента выяснится, что сделанное предположение о линейности модели является ошибочным, то переходят к планированию эксперимента из предположения, что эта модель может быть представлена полиномом 2-го порядка и так далее до тех пор, пока не будет разработана адекватная исследуемому процессу математическая модель.

Начнем рассмотрение наиболее распространенных статистических методов планирования экспериментов с полного факторного эксперимента.

Полным факторным экспериментом (ПФЭ)называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемых факторов, каждый их которых варьируют на двух уровнях. В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий.

Первоначально рассмотрим случай воздействия на функцию отклика Y двух факторов X₁ и X₂. В соответствии с принципом «от простого к более сложному» предположим, что модель исследуемого процесса является линейной и в соответствии с (6.3) имеет вид

Y = b₀ + b₁X₁+ b₂X₂ + b₁₂X₁X₂, (6.4)

где b₀ – значение функции отклика Y в центре плана;

b₁, b₂ – характеризуют степень влияния факторов X₁, X₂ на функцию отклика Y (чем он больше по сравнению с другими коэффициентами, тем более весомый вклад в изменение функции отклика вносит данный фактор);

b₁₂ – характеризует весомость влияния взаимодействия 1-го и 2-го факторов на функцию отклика исследуемого процесса.

Все возможные комбинации для двух факторов (k=2), варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта. Опытные точки расположатся в вершинах квадрата, центр которого совпадает с центром плана (рисунок 6.2). Каждому из этих четырех опытов будет соответствовать свое значение функции отклика в зависимости от четырех различных сочетаний двух значений варьируемых в данном эксперименте факторов.

Построим матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого случая и с учетом предполагаемой модели (6.4) исследуемого процесса.

X₂

Y₃= f(x₁= -1, x₂= +1) Y₄= f(x₁= +1, x₂= +1)

X₁

Y₁= f(x₁= -1, x₂= -1) Y₂= f(x₁= +1, x₂= -1)

Рисунок 6.2 – Расположение экспериментальных точек для двух независимых факторов, варьируемых на двух уровнях

Первый столбец матрицы представляет собой нумерацию опытов. Нумерация факторов осуществляется произвольно и в каждом конкретном случае определяется самим исследователем.

Во втором столбце приводятся значения фиктивной переменной x₀=+1, соответствующей коэффициенту b₀.

В последующих столбцах приводятся безразмерные символы, соответствующие верхнему и нижнему уровням варьирования факторов и их взаимодействий.

При построении матрицы планирования ПФЭ существует следующее правило: первая строка матрицы в столбцах, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам, заполняется безразмерным символом, соответствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте, то есть символом (–); продолжение заполнения столбца, соответствующего первому по порядку фактору, проводится последовательным чередованием противоположных знаков (безразмерных значений уровней варьирования фактора); все последующие столбцы, соответствующие другим пронумерованным по порядку факторам, заполняются с частотой смены знака вдвое меньшей, чем для предыдущего столбца.

Заполнение столбцов, учитывающих взаимодействие факторов, производится как результат перемножения знаков соответствующих факторов в каждой строке.

В последний столбец матрицы заносятся экспериментальные значения функции отклика, полученные в результате проведения каждого опыта.

Матрица планирования для двух факторов приведена в таблице 6.1, ее называют матрицей планирования ПФЭ типа 2² (два фактора варьируются на двух уровнях).

Таблица 6.1 – Матрица планирования ПФЭ типа 2²

Если в эксперименте используются три фактора, а предполагаемая математическая модель линейна, то она соответствует виду

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₂₃x₁x₂x₃. (6.5)

При варьировании каждым из трех факторов (k=3) на двух уровнях число опытов N будет составлять N=2³=8. В этом случае опытные точки располагаются в вершинах куба, центр которого находится в начале координат (0,0,0) (рисунок 6.3).

Матрица планирования ПФЭ составляется по описанным ранее правилам, и будет иметь следующий вид (таблица 6.2).

X₂

Y₃=f(-1;1;-1) Y₄=f(1;1;-1)

Y₇=f(-1;1;1) Y₈=f(1;1;1)

(0;0;0) X₁

Y₁=f(-1;-1;-1) Y₂=f(1;-1;-1)

Y₅=f(-1;-1;1) Y₆=f(1;-1;1)

X₃

Рисунок 6.3 – Расположение экспериментальных точек в плане, соответствующем полиному 1-го порядка для трех независимых переменных

Таблица 6.2 – Матрица планирования ПФЭ типа 2³

Руководствуясь приведенным ранее правилом можно построить матрицу и для большего числа рассматриваемых в эксперименте факторов, число опытов в которой равно

N = 2^k, (6.6)

где k – число учитываемых в эксперименте факторов.

Но выражение (6.6) справедливо только для линейной модели, соответствующей полиному 1-го порядка (6.3), когда варьирование по каждому фактору достаточно проводить на двух уровнях.

При статистическом методе планирования эксперимента существует правило – число уровней варьирования, учитываемых в эксперименте факторов, должно быть, по крайней мере, на единицу больше порядка полинома, для построения которого планируется эксперимент. Планирование эксперимента началось с предположения, что математическая модель исследуемого процесса соответствует полиному 1-го порядка, поэтому достаточно проводить варьирование каждого из k факторов на двух уровнях, а необходимое число проводимых опытов можно определить с помощью выражения (6.6).

Если анализ результатов эксперимента показывает, что линейная модель, соответствующая полиному первого порядка (6.3) не адекватна исследуемому процессу, то переходят к планированию и проведению следующего эксперимента исходя уже из предположения, что математическая модель соответствует полиному следующего порядка и так далее. Но при планировании эксперимента, основанного на математической модели, например, соответствующей полиному второго порядка

(6.7)

Необходимо обеспечить варьирование по каждому из факторов уже на трех уровнях. Тогда необходимое число опытов, которое нужно провести в эксперименте, должно быть не менее N=3^k , для полинома третьего порядка N=4^k и так далее.

Достоинства многофакторного планирования ПФЭ:

1 – Опытные точки находятся в оптимальном положении, то есть математическое описание исследуемого процесса оказывается более точным, чем при проведении опытов в точках, расположенных каким-либо другим образом.

2 – Планирование и проведение ПФЭ сравнительно просто, что объясняет его широкое применение на практике.

3 – Все факторы и соответственно коэффициенты полинома оцениваются независимо друг от друга, что обеспечивается независимостью и ортогональностью столбцов матрицы планирования.