Решение типового примера

Пример Требуется исследовать процесс получения резистивных пленок рения с целью его оптимизации. В качестве критерия оптимизации берется температурный коэффициент сопротивления (ТКС). Задача исследования – определить условия получения резистивных пленок с минимальным ТКС.

Решение Из анализа технологического процесса и результатов предварительных опытов установлено, что на ТКС пленок рения оказывают влияние следующие факторы:

– температура испарения рения – фактор X₁;

– температура подложки, на которую производится осаждение рения – фактор X₂;

– температура термообработки изготовленных резистивных пленок рения – фактор X₃.

C учетом предварительных опытов выбираем:

– центр плана X₁₀=2500⁰C; X₂₀=400⁰C; X₃₀=400⁰C;

– шаг варьирования по всем трем факторам Δ X₁=ΔX₂=ΔX₃=50⁰C.

– абсолютные значения верхнего уровня факторов, учитываемых в данном эксперименте (x_i=+1): X₁₀=2550⁰C; X₂₀=450⁰C; X₃₀=450⁰C;

– абсолютные значения нижнего уровня факторов, учитываемых в данном эксперименте(x_i=-1): X₁₀=2450⁰C; X₂₀=350⁰C; X₃₀=350⁰C.

Первоначально предположим, что искомая модель исследуемого процесса является линейной и может быть представлена полиномом 1-го порядка вида (6.3). В этом случае достаточно варьирования каждого из трех факторов (k=3) на двух уровнях и минимальное число опытов N=2³=8.

С целью ускорения проводимого эксперимента, принимаем решение о проведении двух параллельных опытов (n=2) для одних и тех же условий, представленных в каждой строке (значения верхнего и нижнего уровней факторов), соответствующих номеру опыта, указанному в первом столбце матрицы. С учетом проведения параллельных опытов, их число увеличивается до N′=N·n и в данном случае составит 16.

План эксперимента представим в виде таблицы 6.3, основные отличия которой от таблицы 6.2:

– во 2-м столбце матрицы указан порядок проведения опытов, который определен с помощью таблицы случайных чисел (таблица А4 приложения А) для рандомизации неконтролируемых параметров исследуемого процесса;

– все экспериментально полученные значения функции отклика первого и повторного опытов заносятся в столбцы 11, 12;

– их средние значения подсчитываются по (6.7) и заносятся в 13-й столбец;

– в 14-й столбец вносятся значения выборочных дисперсий экспериментальных значений функции отклика Y_xi около их среднего значения , которые определяются по следующей формуле

где n – количество значенийY_xi , полученных в результате проведения n параллельных опытов; x=1, N.

Таблица 6.3 – Матрица планирования и результаты экспериментов при исследовании резистивных пленок рения

Номер опыта

Порядок проведения опыта

X0б

X1б

X2б

X3б

X1бX2б

X1бX3б

X2бX3б

X1бX2бX3б

Yx1

Yx2

Sx2

+

–

–

–

+

+

+

–

2,4

2,8

2,6

0,08

+

+

–

–

–

–

+

+

2,4

2,2

2,3

0,02

+

–

+

–

–

+

–

+

2,0

2,4

2,2

0,08

+

+

+

–

+

–

–

–

2,2

2,4

2,3

0,02

+

–

–

+

+

–

–

+

2,2

2,2

2,2

+

+

–

+

–

+

–

–

2,1

1,7

1,9

0,08

+

–

+

+

–

–

+

–

2,1

1,9

2,0

0,02

+

+

+

+

+

+

+

+

1,7

1,7

1,7

Порядок обработки и анализа результатов эксперимента следующий:

1. Дисперсии опытных значений функции отклика (ТКС резистивных пленок рения) около их средних значений в каждой строке матрицы рассчитаны по формуле (6.8) и приведены в 14-м столбце таблицы 6.3. Наибольшее ее значение (0,08) соответствует условиям проведения эксперимента, установленным 1-, 3- и 6-м номерами опыта.

2. Для проверки воспроизводимости эксперимента подсчитаем по формуле (6.9) значение критерия Кохрена

.

Критичное его значение, для β=0,10 при n=2 (определяет G_кр по столбцу) и N=8 (по строке), равно G_кр=0,57 (таблица А3 приложения А).

G<G_кр, следовательно эксперимент воспроизводим.

3. По (6.11)подсчитываем значение каждого коэффициента предполагаемой имитационной модели в виде полинома (6.3), на основании которой был спланирован и проведен эксперимент

После вычисления коэффициентов предполагаемой модели исследуемого процесса, оцениваем их значимость с помощью критерия Стьюдента, предварительно рассчитав значение t-параметра по формуле (6.11) для каждого коэффициента и соответствующей ему дисперсии ошибки определения этого коэффициента. Учитывая ортогональность матрицы планирования ПФЭ, приведенной в таблице 6.3, дисперсия ошибок каждого из коэффициентов будет одной и той же, определяемой по (6.13). Для вычисления дисперсии ошибки, предварительно нужно определить дисперсию воспроизводимости эксперимента (среднее значение всех оставшихся после проверки на воспроизводимость эксперимента дисперсий функции отклика в параллельных опытах – 14-й столбец таблицы 6.3) по формуле (6.14):

Тогда дисперсия ошибок определения коэффициентов полинома будет равна:

.

Теперь по формуле (6.11) подсчитываем t-параметр для каждого коэффициента полинома:

Определим критичное значение t-параметра по таблице А1 приложения А для ν=N(n–1)=8 и β=0,10; t_кр=1,86.

Из сравнения найденного значения t_кр с соответствующими значениями t-параметров, можно утверждать с уверенностью в нашей правоте в 9 случаях из 10, что коэффициенты b₁₂, b₁₃, b₂₃ и b₁₂₃ являются незначимыми. В этом случае эффектом взаимодействия учитываемых в эксперименте факторов можно пренебречь и уточненная имитационная модель, описывающая исследуемый процесс, примет вид

Y=2,15 – 0,1X₁ – 0,1X₂ – 0,2X₃. (6.16)

Анализируя данную математическую модель можно сделать вывод, что самое большое влияние на функцию отклика оказывает третий фактор (температура термообработки готовых резистивных пленок рения), в то время, как влияние двух других факторов в два раза меньше.

4. После уточнения имитационной модели необходимо проверить ее на адекватность исследуемому процессу. Учитывая, что аппроксимирующий полином (6.16) содержит четыре члена (d=4), дисперсия адекватности, в соответствии с (6.14), будет иметь следующий вид:

Но для расчета дисперсии адекватности первоначально необходимо определить теоретические значения функции отклика Y_xt для каждого условия проведения опыта, соответствующего конкретному его номеру(x). Теоретические значения функции отклика определяются из полученной в результате эксперимента математической модели (6.16) подстановкой безразмерных значений соответствующих факторов X_i для каждого номера опыта.

Так, для условий эксперимента, соответствующих первому опыту, как видно из таблицы 6.3, значения факторов будут:

X₁ = -1; X₂ = -1; X₃ = -1.

Тогда теоретическое значение функции отклика для этих условий проведения опыта в соответствии с (6.16) будет равно

Y_1t =2,15 + 0,1 + 0,1 + 0,2=2,55.

Аналогично для последующих номеров опытов получаем следующие значения:

Y_2t =2,15 – 0,1 + 0,1 + 0,2=2,35;

Y_3t =2,15 + 0,1 – 0,1 + 0,2=2,35;

Y_4t =2,15 – 0,1 – 0,1 + 0,2=2,15;

Y_5t =2,15 + 0,1 + 0,1 – 0,2=2,15;

Y_6t =2,15 – 0,1 + 0,1 – 0,2=1,95;

Y_7t =2,15 + 0,1 – 0,1 – 0,2=1,95;

Y_8t =2,15 – 0,1 – 0,1 – 0,2=1,75.

Сравнивая теоретические значения Y_xt функции отклика с ее экспериментальными средними значениями, приведенными в 13-м столбце таблицы 6.3, можно подсчитать дисперсию адекватности

Таким образом, дисперсия адекватности меньше дисперсии воспроизводимости эксперимента S²{Y}, следовательно, математическая модель (6.16) адекватна исследуемому процессу и может быть использована для его оптимизации путем шагового движения к экстремуму. Если бы >S²{Y}, то следовало бы воспользоваться F-критерием.