Обработка и анализ результатов эксперимента

Обработка и анализ результатов ПФЭ предусматривает следующий порядок их проведения:

1. Оцениваются дисперсии среднего арифметического в каждой строке матрицы по формуле

(6.9)

2. Проверяются однородности дисперсий. Так как даже одна грубая ошибка может исказить результаты исследования, проведенного при небольшом числе экспериментов, то необходим контроль воспроизводимости результатов исследования, который осуществляется с помощью критерия Кохрена. Подсчитывают параметр

, (6.10)

то есть вычисляют отношение максимального значения изменчивости (максимального значения дисперсии, определенного по (6.9)) среди N опытов к сумме изменчивостей во всех N опытах.

Найденное по (6.10) наибольшее экспериментальное значение G сравнивают с критичным (табличным) его значением G_кр.

Критичное значение G_кр представляет собой максимально возможное значение параметра G, при котором гипотеза о воспроизводимости эксперимента еще может считаться справедливой. В этом случае максимальная изменчивость функции отклика, полученная в результате проведения n параллельных опытов, не отличается от ожидаемой среди N опытов. Задаваясь определенным значением коэффициента риска β, значение G_кр определяют в столбце таблицы А3 приложения А, соответствующем числу параллельных опытов (n) и строке, соответствующей числу номеров опытов (N).

Если G ≤ G_кр, то «подозрительное» максимальное значение изменчивости не является «инородным», а представляет собой результат случайного рассеяния исследуемой функции отклика, то есть эксперименты воспроизводимы и их результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессии.

Если G > G_кр, то эксперименты не воспроизводимы, то есть неконтролируемые и неуправляемые факторы создают на выходе слишком большой уровень «шума». Необходимо проверить следующую точку (имеющую второе по величине значение S_x²) и так далее, то есть нужно выявить все точки, в которых эксперимент невоспроизводим. При этом можно увеличить число параллельных опытов.

3. Создается математическая модель объекта с проверкой статистической значимости коэффициентов полинома.

После выполнения ПФЭ осуществляют независимую оценку коэффициентов полинома по следующей формуле:

(6.11)

где X _ix принимает значения +1 или –1 в соответствии с матрицей планирования.

В числителе (6.11) фактически стоит сумма средних значений выходного параметра по всем опытам с учетом уровня независимой переменной X_i в x-м опыте.

По формуле (6.11) можно найти также коэффициенты b_ij при произведениях факторов X_iX_j (i ≠ j). Значения этих коэффициентов показывают уровень влияния эффекта взаимодействия факторов X_i и X_j .

После вычисления коэффициентов оценивается их значимость для определения степени влияния различных факторов на выходной параметр (функцию отклика). Основой оценки значимости является сопоставление абсолютного значения, например, коэффициента b_i и дисперсии ошибки его определения S²{b_i}. В этом случае с помощью t-критерия (критерия Стьюдента) проверяется гипотеза о незначимости рассматриваемого коэффициента, то есть гипотеза о том, что b_i=0 (проверка нуль-гипотезы). Значение параметра определяется по формуле:

(6.12)

При ортогональном планировании эксперимента дисперсии ошибок определения каждого из коэффициентов равны между собой

(6.13)

Дисперсия воспроизводимости S²{Y} оценивается по формуле

(6.14)

Коэффициент b признается значимым, если t для числа степеней свободы ν=N(n–1) больше или равен t_кр (t ≥ t_кр) , найденному по таблице А1 приложения А для заданного значения коэффициента риска β. В случае t<t_кр, коэффициент признается незначимым.

Статистическая незначимость коэффициента b_i может быть вызвана следующими обстоятельствами:

– уровень базового режима по данной переменной X_0i (или по произведению переменных) близок к точке частного экстремума:

– интервал варьирования ΔX_i переменной выбран слишком малым;

– данный фактор (взаимодействие факторов) не оказывает влияния на значение выходного параметра.

Так как применение ортогональных планов дает возможность оценивать значения всех коэффициентов независимо друг от друга, тогда если один или несколько коэффициентов окажутся незначимыми, то они могут быть отброшены без пересчета остальных. Отбросив незначимые коэффициенты, получим уточненную имитационную модель в виде полинома, представляющую зависимость выходного параметра от технологических факторов.

4. Проверяется адекватность. Математическая модель должна достаточно верно качественно и количественно описывать свойства исследуемого явления, то есть она должна быть адекватна. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического более чем на некоторую заранее заданную величину. Для проверки адекватности достаточно оценить отклонение предсказанного имитационной моделью значения выходного параметра Y_xt от результатов эксперимента в точке X_x факторного пространства.

Оцениваем дисперсию адекватности по формуле

(6.15)

где d – число членов аппроксимирующего полинома.

Если не превышает дисперсии опыта S²{Y} ( ≤S²{Y}), то полученная математическая модель адекватно представляет результаты эксперимента; если >S²{Y}, то проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью F-критерия (критерия Фишера) при ν_ад=N–d и ν=N(n–1).

(6.16)

если F ≤ F_кр, то модель признается адекватной.

Очевидно, что такая проверка возможна, если ν_ад > 0, так как при N=d не остается степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватности. В этом случае можно провести косвенную проверку адекватности, поставив ряд экспериментов в центре плана. Различие между средним значением выходной величины, полученной в этих экспериментах, и свободным членом линейного уравнения может дать представление об адекватности модели. Если это различие незначимо, то можно предположить, что модель адекватна.

При отрицательном результате проверки адекватности (модель недостаточно верно описывает процесс) необходимо либо переходить к уравнению связи более высокого порядка, так как, по-видимому, эксперимент ставился в области, близкой к экстремальной, либо, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования ΔX_i. Уменьшение интервала варьирования приводит к увеличению отношения помех к полезному сигналу, что обусловливает необходимость увеличения числа параллельных опытов для выделения сигнала на фоне шума, а также к уменьшению абсолютных значений коэффициентов b_i, величины которых зависят от интервала варьирования и при чрезмерном его уменьшении могут стать статистически незначимыми.

Если полученная модель адекватна, то возможны следующие ситуации:

– Все линейные коэффициенты значимы. Полученную модель можно использовать для управления процессом и оптимизации его путем движения по направлению к экстремуму.

– Один из коэффициентов резко выделяется по абсолютной величине. В этом случае движение по градиенту функции выродится в обычный однофакторный эксперимент. Поэтому следует повторить эксперимент, уменьшив интервал варьирования этого фактора или увеличив его для других факторов.

– Некоторые из линейных коэффициентов незначимы. Ими можно пренебречь, если соответствующие факторы действительно не оказывают влияния на выходной параметр (например, если незначимым оказался включенный в исследование из осторожности фактор, который и по априорным сведениям не должен оказывать существенного влияния на функцию отклика). Если в этом уверенности нет, то необходимо поставить новую серию опытов, расширив интервалы варьирования у соответствующих факторов.

– Некоторые или все линейные коэффициенты незначимы, но значимы коэффициенты взаимодействия b_ij. Такое положение может возникнуть из-за неудачного выбора интервалов варьирования, поэтому надо поставить новую серию опытов, увеличив интервалы варьирования у соответствующих факторов. Причиной подобной ситуации может быть и то, что эксперимент ставился в области, в которой линейное приближение является неудачной моделью поверхности отклика. В этом случае переходят к нахождению математической модели более высокого порядка.