ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

Методы насыщенных и сверхнасыщенных планов

При исследовании сложных процессов исследователю приходится иметь дело с большим количеством факторов, которые способны оказать влияние на функцию отклика исследуемого процесса. Для первоначального построение «грубой модели» процесса желательно оставить только те факторы, которые оказывают сравнительно существенное влияние на функцию отклика, отбросив на первом этапе факторы, оказывающие незначительное влияние. Это можно сделать с помощью насыщенных и сверхнасыщенных планов.

Метод насыщенных планов

Насыщенные планы – планы, для которых число степеней свободы равно

N–k=1, (5.1)

то есть число вариантов условий проведения эксперимента (число номеров опытов) должно быть на единицу больше число рассматриваемых факторов.

Необходимым условием применения насыщенных планов является отсутствие влияния эффекта взаимодействия факторов на функцию отклика исследуемого процесса. Соблюдение этого условия основано на предпосылке, что на выходной параметр исследуемого процесса оказывают влияние лишь линейные эффекты и не влияют взаимодействия факторов.

При этом используют дробные реплики ПФЭ, стремясь к тому, чтобы все экспериментальные данные, полученные при N условий проведения эксперимента, были бы использованы для оценки коэффициентов при соответствующих переменных.

Если предполагается, что на функцию отклика исследуемого процесса способны оказывать влияние 15 факторов, то для отсеивания несущественных или оказывающих незначительное влияние факторов может быть использован ДФЭ типа 2^15-11 с числом различных условий эксперимента (минимальным числом опытов) N=16. Условие (5.1) в этом случае выполняется, так как N–k=16-15=1.

Число опытов N=16 предусматривает применение ПФЭ типа 2⁴. Полином первого порядка в этом случае имеет следующий вид:

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₁₂X₁X₂+b₁₃X₁X₃+

+b₁₄X₁X₄+b₂₃X₂X₃+b₂₄X₂X₄+b₃₄X₃X₄+b₁₂₃X₁X₂X₃+ (5.2)

+b₁₂₄X₁X₂X₄+b₁₃₄X₁X₃X₄+b₂₃₄X₂X₃X₄+b₁₂₃₄X₁X₂X₃X₄.

Из приведенного полинома 1-го порядка (5.2) видно, что имеется 15 коэффициентов (без учета коэффициента b₀). Поэтому, заменяя все члены полинома (5.2), учитывающие эффект влияния взаимодействия ранее выбранных четырех из пятнадцати рассматриваемых факторов, на одиннадцать оставшихся, получаем полином 1-го порядка с пятнадцатью факторами:

Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₅X₅+b₆X₆+b₇X₇+b₈X₈+

+b₉X₉+b₁₀X₁₀+b₁₁X₁₁+b₁₂X₁₂+b₁₃X₁₃+b₁₄X₁₄+b₁₅X₁₅. (5.3)

В (5.3) имеем дело не с ПФЭ типа 2⁴, а с ДФЭ типа 2^15-11, на основании которого можно оценить все пятнадцать коэффициентов b₁, b₂, b₃,…, b₁₅.

X₅=X₁X₂X₃X₄; X₁₀=X₁X₂;

X₆=X₁X₂X₃; X₁₁=X₁X₃;

X₇=X₁X₃X₄; X₁₂=X₁X₄;

X₈=X₁X₂X₄; X₁₃=X₂X₃;

X₉=X₂X₃X₄; X₁₄=X₂X₄;

X₁₅=X₃X₄.

Проведя соответствующую замену в матрице ПФЭ типа 2⁴ при использовании значений рассматриваемых в эксперименте 15-ти факторов, получим матрицу ДФЭ типа 2^15-11 (таблица 5.1). После проведения экспериментов производится вычисление коэффициентов по формуле (5.10).

Таблица 5.1 – Матрица насыщенного планирования

Номер опыта

X0б

X1б

X2б

X3б

X4б

X5б

X6б

X7б

X8б

X9б

X10б

X11б

X12б

X13б

X14б

X15б

+

–

–

–

–

+

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

+

+

–

–

–

–

+

+

+

–

–

–

–

+

+

+

+

–

+

–

–

–

+

+

+

+

–

+

+

–

–

+

+

+

+

–

–

+

–

–

+

+

+

–

–

–

–

+

+

–

–

+

–

–

+

–

+

+

+

–

+

–

+

–

+

+

–

+

–

+

–

+

–

+

–

+

–

–

+

–

+

–

+

+

–

+

–

+

+

–

–

–

+

+

–

–

+

+

+

+

–

–

+

–

–

–

+

+

–

+

–

–

+

–

–

–

+

–

–

+

+

+

+

+

–

+

–

–

+

+

–

–

+

+

+

–

–

+

–

–

+

+

–

–

+

–

+

–

+

+

+

–

+

–

–

+

–

–

+

–

+

+

+

–

+

–

–

+

–

–

+

–

+

–

+

–

+

–

–

+

+

+

+

+

–

–

+

–

–

–

–

+

+

+

–

+

+

–

–

–

+

–

–

+

+

–

–

+

+

–

+

+

+

–

–

–

–

+

–

–

–

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Факторы, при которых коэффициенты в результате проведенной оценки по критерию Стьюдента оказались незначимыми, отбрасываются. На первых этапах исследования, когда создается «грубая» модель исследуемого процесса, допускается отсеивание несущественных факторов, исходя из значений полученных коэффициентов.

Если рассматривать процесс с числом факторов k=17, то число опытов ПФЭ типа 2⁴ будет недостаточным. Ближайшее минимальное число опытов можно получить с помощью ПФЭ типа 2⁵, которое составляет N=32. Число опытов в данном случае значительно превышает число учитываемых в эксперименте факторов, но облегчается замена эффектов взаимодействия на линейные эффекты. Все линейные эффекты могут быть введены в план вместо эффектов взаимодействия более высокого порядка, чем парные (по сравнению с k=15), а следовательно, менее значимыми с точки зрения их влияния на функцию отклика. Действительно,

X₆=X₁X₂X₃X₄X₅; X₇=X₁X₂X₃X₄; X₈=X₁X₃X₄X₅;

X₉=X₁X₂X₄X₅; X₁₀=X₂X₃X₄X₅; X₁₁=X₁X₂X₃;

X₁₂=X₁X₃X₄; X₁₃=X₁X₄X₅; X₁₄=X₁X₃X₅;

X₁₅=X₂X₃X₄; X₁₆=X₂X₄X₅; X₁₇=X₂X₃X₅.

Однако объем экспериментальной работы в данном случае увеличится не пропорционально увеличению числа рассматриваемых факторов, в отличие от предыдущего случая.

При k=9; 17; 33 и т.д. использование дробных реплик от ПФЭ ведет к значительному увеличению числа опытов соответственно N=16; 32; 64 и т.д. Для того, чтобы увеличить насыщенность планов, разработаны ортогональные планы с N=12; 20; 24; 36 и т.д. Однако применение метода насыщенных планов для исследования сложных процессов ограничено, так как эффект влияния взаимодействия факторов на выходной параметр может быть значительным.

Метод сверхнасыщенных планов (метод случайного баланса)

Этот метод дает возможность отсеивать как линейные эффекты, так и их взаимодействия. Но применение этого метода предполагает, что число значимых эффектов (оказывающих доминирующее влияние на функцию отклика) значительно меньше общего числа взятых под подозрение. Для выявления существенных факторов используются сверхнасыщенные планы – планы, где число опытов меньше числа исследуемых эффектов, включенных в эксперимент, то есть число степеней свободы меньше единицы. При этом предполагается брать случайные выборки из ПФЭ, таким образом, совместные оценки оказываются смешанными некоторым случайным образом, поэтому другое название метода – метод случайного баланса. Этот метод позволяет решить основную задачу отсеивающих экспериментов – выявить доминирующие факторы среди очень большого их числа, включенных в исследование, как потенциально способных оказывать влияние на выходной параметр.

Для построения матрицы планирования все факторы разбиваются на группы. Для получения несовмещенных оценок целесообразнее эту разбивку производить так, чтобы в каждую группу входили факторы, характеризующие определенные моменты исследуемого процесса. При исследовании технологического процесса производства электронных средств, желательно составлять группы факторов в соответствии с последовательностью операций технологического процесса.

Для каждой группы строится матрица планирования, соответствующая ДФЭ или ПФЭ. Поэтому лучше составлять группы не более чем из 3 - 5 факторов, так как в этом случае для каждой можно взять ПФЭ, в котором перебираются все возможные комбинации уровней в группе.

План эксперимента образуется случайным смешиванием строк групповых планов, которое выполняется с помощью таблицы случайных чисел. Полученный экспериментальный материал обрабатывается в несколько этапов с помощью диаграмм рассеивания результатов наблюдений по отдельным факторам.

На первом этапе диаграмма рассеивания строится для каждого фактора (рисунок 5.1). По оси ординат откладываются экспериментальные значения рассматриваемой функции отклика, а по оси абсцисс – учитываемые в эксперименте факторы.

Y

– + – + – + – + факторы

X₁ X₂ X₃ X_n

Рисунок 5.1 - Диаграмма рассеивания результатов

наблюдений для отдельных факторов

Поле рассеяния экспериментальных точек (значений функции отклика) представляет собой две колонки точек, соответствующих нижнему и верхнему уровням варьирования каждым фактором. Слева располагаются все значения функции отклика для тех опытов, где данный фактор находился на нижнем уровне, а справа – на верхнем. Таким образом, над обозначением на оси абсцисс каждого фактора будет находиться N точек (суммарное их значение в двух колонках), соответствующих N результатам экспериментов. При анализе диаграммы рассеивания каждый фактор рассматривается не зависимо от других.

В результате имеются две группы опытов, в каждой из которых анализируемый фактор зафиксирован на определенном уровне, а все остальные факторы изменяются случайным образом.

Если фактор влияет на выходной параметр Y, то при переходе его с одного уровня на другой произойдет смещение центра распределения M_Y на величину

β_i = (M_Y)₁ – (M_Y)₂, (5.4)

где β_i – вклад данного фактора;

(M_Y)₁ – центр распределения значений функции отклика Y при нахождении фактора X_i на первом (нижнем) уровне;

(M_Y)₂ – центр распределения значений Y при нахождении фактора X_i на втором (верхнем) уровне.

Вклад данного фактора проще всего оценить с помощью разницы медиан для нижнего и верхнего уровней. При этом, если число точек, находящихся на уровне, 2i, то медиана лежит между i-й и (i+1)-й точками, если же на уровне (2i+1) точек, то медианой является (i+1)-я точка. Существенные технологические факторы можно выделить, сравнивая визуально вклады факторов.

Факторы, признанные существенными, то есть имеющие наибольшие вклады, могут быть оценены количественно. Для этого обычно составляется таблица с числом входов, соответствующим числу выделенных факторов (таблица 5.2).

Таблица 5.2 – Вспомогательная таблица для количественной оценки факторов

Входы таблицы	A+	A–
C+	I+	Yi…Yξ	.……
I–	.……	.……
C–	I+	.……	.……
I–	.……	.……

В каждую клетку таблицы заносятся результаты экспериментов в соответствии с уровнями, на которых находились выделенные факторы. При этом может оказаться, что некоторые клетки окажутся незаполненными. В этом случае надо сократить число входов таблицы, то есть уменьшить число выделяемых на данном этапе факторов.

Пример Предположим, что на данном этапе наибольшие вклады имеют факторы X₁, X₃, X₇ (таблица 5.3).

Таблица 5.3 – Вспомогательная таблица для количественной оценки факторов

Входы таблицы
		Yi…Yξ	.……
	.……	.……
		.……	.……
	.……	.……

Коэффициенты при соответствующих факторах вычисляются по следующим формулам:

(5.5)

Пример

Эти формулы отличаются от соответствующих формул для вычисления коэффициентов в ПФЭ или ДФЭ тем, что здесь дополнительно производится усреднение в каждой клетке. Это необходимо делать, так как в случайно сбалансированном эксперименте различным комбинациям уровней может соответствовать разное число опытов.

Из (5.5) видно, что коэффициенты при соответствующих факторах определяются как разность средних значений функции отклика, соответствующих верхнему и нижнему уровням рассматриваемого фактора.

Если количественная оценка подтвердила значимость выделенных визуально факторов, то их исключают из рассмотрения при последующих этапах обработки данных.

Обычно ограничиваются сравнением абсолютных значений коэффициентов и если значения каких-то коэффициентов оказываются в несколько раз меньше, чем других, то соответствующие им факторы на данном этапе не исключаются, а вновь включаются в рассмотрение на следующем этапе. В то же время, факторы, которые по значениям коэффициентов признаются влияющими на процесс, исключаются из дальнейшего рассмотрения.

Коэффициенты, характеризующие влияние факторов, вычисляются на первом этапе со значительной ошибкой, которая может быть много больше ошибки эксперимента, так как оценка факторов производится на «шумовом фоне», создаваемом всеми остальными факторами, среди которых присутствуют и невыявленные пока доминирующие факторы. В связи с этим оценка значимости коэффициентов по критерию Стьюдента может оказаться неэффективной, и ее на первом этапе не производят, а ограничиваются сравнением абсолютных значений коэффициентов, вычисленных в соответствии с (5.5).

После исключения первой группы значимых факторов необходимо определить, являются ли существенными остальные факторы и эффект влияния взаимодействия факторов. Для этого проводят корректировку результатов эксперимента, полученных на первом этапе. Сущность этой корректировки состоит в том, чтобы на втором этапе исключить эффекты влияния на функцию отклика выявленных на предыдущем этапе значимых факторов. Для этого все экспериментальные результаты, находящиеся на одном из уровней, признанного существенным фактора, изменяют на величину .

Пример В результате проведения первого этапа была установлена значимость фактора X₁ (рисунок 5.1). Тогда, из результатов экспериментальных значений функции отклика, например, верхнего уровня этого фактора, то есть (таблица 5.2), вычитают значение коэффициента , найденное в соответствии с (5.5), или к экспериментальным значениям нижнего уровня ( ) прибавляют значение .

Данная процедура аналогично проделывается с экспериментальными данными для всех остальных всех остальных выделенных на первом этапе факторов. По скорректированным результатам снова строятся диаграммы рассеивания и вся процедура повторяется. На очередной серии диаграмм рассеивания разность медиан факторов, признанных существенными, по которым производилась корректировка, станет равной или близкой к нулю. Иными словами эти факторы не будут мешать анализировать другие факторы и взаимодействия.

На втором этапе диаграммы рассеивания строятся, как для отдельных факторов, так и для их взаимодействий, потенциально способных оказывать влияние на выходной параметр. Однако строить диаграммы рассеивания для всех эффектов, взятых под подозрение, достаточно трудоемко, поскольку их число обычно велико. Поэтому сначала строят диаграммы рассеивания для линейных эффектов, а затем, проанализировав их, – лишь для тех взаимодействий, вклады которых достаточно велики.

Пример Взаимодействие X₈X₉ будет иметь больший вклад, если появятся выделяющиеся точки как на уровне (X₈X₉)⁺, так и на уровне (X₈X₉)^– (рисунок 5.2). В первом случае оба фактора X₈ и X₉ будут иметь одинаковые знаки, а во втором – разные.

Таким образом, нужно строить диаграммы рассеивания лишь для взаимодействия таких факторов, которые имеют выделяющиеся точки, как на одинаковых уровнях, так и на разных. То есть одни части диаграмм рассеивания факторов должны повторять друг друга, а другие – быть зеркальными отображениями (рисунок 5.2). Взаимодействие может иметь значительный вклад, в то время, как каждый фактор в отдельности характеризуется небольшим вкладом.

Процесс выявления существенных технологических факторов следует прекратить, а все оставшиеся факторы считать относящимися к «шумовому полю», когда на очередной серии диаграмм рассеивания все вклады окажутся примерно одного порядка и незначительными по величине.

Y

– + – + – + факторы

X₈ X₉ X₈X₉

Рисунок 5.2 - Построение диаграммы рассеивания результатов

наблюдений для взаимодействий факторов

Наряду с такой чисто качественной и субъективной оценкой значимости, как самих факторов, так и их взаимодействий, применяют также количественные критерии эффективности проведения отсеивающих экспериментов, которыми можно пользоваться после того, когда выявлены значимые факторы и их влияние на результаты эксперимента скорректированы.

Значимость выделенных факторов и их взаимодействий можно проверить с помощью критерия Стьюдента, подсчитав первоначально экспериментальное значение t-параметра, здесь дисперсии ошибок определения каждого из коэффициентов:

(5.6)

где Y_kξ – значения функции отклика, полученные после корректировки результатов эксперимента;

(5.7)

l – число клеток в таблице 5.2;

m_j – число значений функции отклика Y в j-й клетке независимо от того, скорректированы или не скорректированы они;

S – дисперсия наблюдаемых в j-й клетке значений функции отклика Y_i, Y_ξ и т.д.;

(5.8)

Проверку с помощью t-критерия имеет смысл проводить на последнем этапе построения диаграмм рассеивания, когда исследователь считает, что выделены все существенные эффекты, и, следовательно, остаточная дисперсия определяется ошибкой эксперимента. В этом случае с помощью критерия Стьюдента проверяют один – два эффекта, имеющие наибольшие вклады на последней серии диаграмм рассеивания. Если эти эффекты окажутся незначимыми, то можно сказать, что все существенные факторы и взаимодействия выявлены.

Критерием окончания отсева существенных эффектов может служить и F-критерий:

(5.9)

где S²{Y} – дисперсия воспроизводимости или ошибка эксперимента.

Все существенные факторы и взаимодействия считаются выявленными, если различие между S²{Y_kξ} и S²{Y} незначительно и F≤F_кр; F_кр находится при ν₁=N–1: ν₂=n–1. Только в этом случае можно считать влияние факторов и их взаимодействий незначительным, а дисперсию значений функции отклика – обусловленной ошибками эксперимента.

Эффективность проведения отсеивающих экспериментов можно проверить и с помощью критерия Пирсона (χ²-критерия). Сущность этой проверки заключается в том, что, если выявлены все эффекты, влияющие на процесс, и исключено их воздействие на выходной параметр, то его распределение должно быть, в соответствии с центральной предельной теоремой, близким к нормальному закону. Разброс Y_ξ после заключительной корректировки должен быть обусловлен лишь наличием «шумового поля» или случайных возмущений, воздействующих на процесс. Проверку гипотезы о близости распределения скорректированного (по всем диаграммам рассеивания) значения выходного параметра нормальному закону осуществляют с помощью критерия Пирсона.

В этом случае часто применяют следующую формализованную методику:

1. Проводят построение упорядоченного вариационного ряда. Для этого производят следующие действия:

– находят Y_max и Y_min;

– подсчитывают число интервалов K=1+3,332·lgn, где n – объем выборки, а K (число интервалов) округляют до целого значения;

– определяют длину интервала l=(Y_max–Y_min)/K;

– находят середину интервала Y_i=(Y_i+1–Y_i)/2;

– вычисляют относительную частоту попадания в интервал

p_i=n_i/n, где

– строят гистограмму.

2. Определяют теоретическую вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал от Y_i+1 до Y_i. Для этого:

– находят выборочное среднее арифметическое

– вычисляют выборочную дисперсию

– определяют среднее квадратическое отклонение

– вычисляют значение t–распределения Стьюдента , причем t_i определяется для границ интервалов;

– проводят подсчет теоретической вероятности для каждого интервала , где Φ – функция Лапласа Φ(-t)=1–Φ(t); значение Φ(t) находят по таблице приложения.

3. Определяют теоретическую функцию распределения ;

4. Вычисляют расхождение между эмпирической n_i и теоретическими функциями распределения по критерию Пирсона

(5.10)

5. Находят число степеней свободы ν=K–d–1, где d – число оцениваемых параметров, в данном случае d=2, так как оцениваются и S².

6. Определяют табличное значение критерия Пирсона для ν и P (вероятности, представляющие собой уровень значимости, который выбирается равным 0,9; 0,95; 0,99).

7. Если > – гипотеза о соответствии распределения нормальному закону принимается.

На практике, если P<0,1, необходимо проверить эксперимент, если возможно – повторить его. При появлении повторных расхождений следует попытаться найти более подходящий для описания экспериментальных данных закон распределения.

На этапе отсеивающих экспериментов не ставится задача получения адекватной математической модели, поэтому целесообразнее брать большие интервалы варьирования, чтобы изменения выходной величины, вызываемые переходом фактора с одного уровня на другой, были различимы на фоне «шума».

Таким образом, постановка отсеивающих экспериментов дает возможность:

– выявить среди множества факторов, взятых под подозрение, наиболее существенные, и тем самым сократить дальнейшие исследования;

– определить требования к применяемому оборудованию и упростить управление процессом, тщательно контролируя лишь те параметры, которые оказывают наиболее сильное воздействие на интересующие исследователя показатели;

– представить характер влияния технологических параметров на выходную величину процесса и правильно выбрать исходную точку и интервалы варьирования переменными для дальнейших экспериментов.