Двухфакторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ, при котором происходит полная рандомизация эксперимента, не всегда является лучшим способом его планирования. Очень часто выделение из общей дисперсии влияния только одного исследуемого фактора оказывается недостаточным, так как ошибка эксперимента может быть очень велика и интересующий эффект может быть не виден на фоне этой ошибки. Уменьшение ошибки эксперимента можно получить при разбиении эксперимента на группы опытов, так называемые блоки («блочное планирование»), соответствующие возможным причинам неоднородностей. В качестве блоков могут быть использованы уровни второго исследуемого фактора, или разные дни проведения экспериментов, или еще какие-либо условия.

Такой план эксперимента способствует выявлению эффекта, связанного с изменением уровней обоих исследуемых факторов. Блоки в двухфакторном эксперименте представляют ограничение, наложенное на рандомизацию, которая в этом случае должна проводиться на каждом блоке отдельно.

По результатам наблюдений и с учетом рандомизации строится таблица наблюдений и первоначальной обработки результатов эксперимента (таблица 4.1), причем в этом случае число наблюдений в каждом столбце должно быть одинаково. По данным этой таблицы вычисляются оценки дисперсии, связанные с изменением уровней исследуемых факторов и , а также ошибки эксперимента (таблица 4.2).

Для проверки гипотезы об отсутствии эффектов влияния по обоим исследуемым факторам вычисляются дисперсионные отношения:

F_{расч А}= / ; F_{расч В}= / (4.1)

и сравниваются с табличными значениями обычным порядком. Двухфакторный дисперсионный анализ является самым удобным из простых планов и поэтому наиболее часто применяется на практике.

Таблица 4.1 – Результаты наблюдений двухфакторного эксперимента

Уровни 2-го фактора (блоки)	Уровни 1-го фактора
		…	j	…	k
	y11	y12	…	y1j	…	y1k	Y1
	y21	y22	…	y2j	…	y2k	Y2
…	…	…		…		…	…	…	…
i	yi1	yi2	…	yij	…	yik	Yi
…	…	…		…		…	…	…	…
n	yn1	yn2	…	ynj	…	ynk	Yn
	Yi1	Yi2	…	Yij	…	Yik	Y	–	–
			…		…		–		–
			…		…		–	–

Таблица 4.2 – Формулы для расчета оценок дисперсий

Источник рассеяния	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Дисперсия
Между уровнями 1-го фактора	k-1
Между уровнями 2-го фактора (между блоками)	n-1
Ошибка эксперимента	(k-1)·(n-1)
Общая сумма	nk-1