Прямые, параболы, гиперболы

Всем известно уравнение прямой . Коэффициент при называется угловым коэффициентом, это тангенс угла наклона прямой к оси Ох. Если он положителен, то прямая составляет острый угол с положительным направлением оси Ох, а если отрицателен, то тупой. Если уравнение прямой дано в виде , то для определения углового коэффициенты нужно выразить : . Прямые с равными угловыми коэффициентами параллельны. Если угловые коэффициенты прямых и удовлетворяют условию , то прямые взаимно перпендикулярны. Коэффициент является ординатой точки пересечения с осью Оу, или , т. е. значением функции в точке 0. Уравнением вида можно задать любую прямую, не являющуюся вертикальной.

1. При каких значениях параметра прямые и взаимно перпендикулярны? Решение.Должно выполняться равенство . Решая уравнение , получаем . Ответ: .

Как найти угол между двумя прямыми? Пусть даны прямые и . Обозначим через угол наклона первой прямой к положительному направлению оси Ох, через — угол наклона второй прямой. Тогда угол можно считать углом между прямыми (рис. 2). Так как , то .

2. При каких угол между прямыми и равен ? Решение. Поскольку направление угла выбирается произвольно (любую из прямых можно взять первой), то запишем уравнение , или 1. Решая уравнения и , получаем . Ответ: .

3. При каких значениях прямая отсекает от осей координат треугольник площади 8? Решение.Найдем длины отрезков, отсекаемых этой прямой от осей. Прямая пересекает ось Оу в точке , значит, длина отрезка на оси Оу равна 1. Чтобы найти, в какой точке прямая пересекает ось Ох, нужно выразить из уравнения , значит, длина отрезка на оси Ох равна (если бы выражение не было заведомо положительным, нужно было бы взять его абсолютную величину). Итак, катеты отсеченного треугольника равны 1 и , значит, его площадь . Потребовав, чтобы площадь была равна 8, получим уравнение , отсюда . Ответ: .

4. При каких значениях параметра длина отрезка прямой , заключенного между осями координат, равна ? Решение.Найдем точки пересечения этой прямой с осями: и (при прямая не пересекает ось Ох). Тогда длина отрезка, заключенного между этими точками, равна . Потребуем, чтобы длина равнялась : . Из уравнения получаем , или . Ответ: .