Гиперболы

Дробно-линейной называется функция вида ( , иначе , и знаменатель сокращается, функция оказывается постоянной при ). Простейшая дробно-линейная функция — это , график её, как известно, гипербола (рис. 1).

График произвольной дробно-линейной функции также является гиперболой. Основная особенность графика — прямые, к которым приближается точка графика при движении «на бесконечность». Они называются асимптотами. Для графика функции асимптотами являются оси координат.

График дробно-линейной функции можно строить с помощью производной, но гораздо проще построить его по асимптотам. Алгоритм построения графика таков: находим точку, в которой знаменатель обращается в ноль и проводим вертикальную прямую (вертикальная асимптота). Затем проводим горизонтальную прямую (отношение коэффициентов при х в числителе и знаменателе). Эта прямая является горизонтальной асимптотой. Затем отмечаем точки пересечения с осями: с осью Оу , с осью Ох — , . Для схематичного построения графика этого достаточно. Например, построим график функции . Находим вертикальную асимптоту: . Находим горизонтальную асимптоту . Изображаем эти прямые на плоскости. Находим точки пересечения графика с осями: , при , . Отмечаем точки на осях. Теперь, соединяя точки (2; 0) и (0; –4), строим одну ветвь гиперболы, а вторую изображаем симметрично относительно точки пересечения асимптот (рис. 2). Если бы найденные точки оказались в разных четвертях относительно асимптот (рис. 3), то можно построить ветвь и по одной точке, а если желательна большая точность, можно также отметить точки, симметричные полученным относительно точки пересечения асимптот.

12. На рис. 4 дан график функции . Определить знаки коэффициентов a, b и d. Решение. Вертикальная асимптота имеет положительную абсциссу, значит, . Горизонтальная асимптота проходит в нижней полуплоскости, значит, . Значение функции в точке , судя по чертежу, отрицательно, значит , а так как , то . Ответ: , , .

28. При каком значении а уравнение не имеет решения? Решение. Прямая не пересекается с графиком дробно-линейной функции, если она является горизонтальной асимптотой, т.е. при . Ответ: при .

29. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра ? Решение.В первую очередь,надо рассмотреть случай, когда данная функция является не дробно-линейной, а постоянной: . Подставив это значение в уравнение, получим уравнение , не имеющее решений. (Если бы мы получили уравнение вида , то сделали бы вывод, что уравнение имеет бесконечно много корней: все числа, кроме . При уравнение не имеет решений, если прямая является горизонтальной асимптотой, т. е. , . При остальных значениях параметра уравнение имеет один корень. Ответ: при нет корней, при остальных значениях один корень.

30.
Построить график функции . Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра ? Решение. Строим график функции (рис. 5). Выполним преобразование графика : часть графика в левой полуплоскости «стираем», а на ее место отражаем относительно оси ординат правую часть графика (рис. 6). По чертежу определяем, что при решений нет, при одно решение, и при два решения. Ответ: при решений нет, при одно решение, при два решения.

31.
Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра ? Решение.При строим график функции , а при график функции . Получаем график на рис. 7. По графику определяем ответ. Ответ: при одно решение, при два решения; при нет решений.