Билет 2. Понятие решения ОДУ первого порядка. ОДУ в симметричной форме. Общий интеграл.

Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.

Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее производной неизвестной функции. Уравнение, содержащее производной функции только по одной неизвестной независимой переменной, называется обыкновенным дифф уравнением. Ур-е, содержащее производные функции по нескольким независимым переменным – уравнение в частных производных. Порядок дифференциального уравнения – наибольший порядок входящих в него производных. Обыкновенным дифф ур-ем n-ого порядка относительно неизвестной функции y(t) называется ур-е F(t, y(t), y’(t), …,y(n)(t)) = 0, t Є [a, b], где F(t, y, p1, p2,…pn) – заданная функция n+1 переменной. Обыкновенным дифф ур n-ого порядка, разрешенным относительно старшей производной, называется ур-е: y(n)(t) = F(t, y(t), y’(t)…y(n-1)(t)), t Є [a, b]. На ряду с обыкновенными диф ур можно рассматривать системы. Нормальной системой обыкновенных дифф ур относительно неизвестных y1(t),…,yn(t) назывется {y1’(t) = f1(t, y1(t),…,yn(t));…;yn’(t) = fn(t, y1(t),…,yn(t)); t Є [a, b]}. Обыкновенное ур-е n-ого порядка, разрешенное относительно старшей производной может быть сведено к нормальной системе {y1’(t) = y2(t)…y’n-1(t) = yn(t), yn’(t) = F(t, y1(t),…,yn(t)); t Є [a, b]}. Процесс нахождения решения называется интегрированием ДУ или системы. Всякое решение системы можно интерпретировать как кривую (t, y1(t),…,yn(t)) в n+1 мерном пр-ве (t, y1, y2,…,yn), которая называется интегральной кривой. Пространство переменных (y1,…yn) – фазовое пространство, а кривая (y1(t),y2(t),…yn(t)) – фазовая траектория. Движение мат точки. По второму закону Ньютона d^2x/dt^2 = f(t), те x(t) = $<t0, t>$<to, u>f(O)dOdu + c1 + c2t, t0 – некоторое заданное число, c1, c2 – произвольные постоянные. Если сила не постоянна, то ур-е выглдядит d^2x/dx^2 = f(t, x(t), x’(t)) – это вдоль прямой. В пространстве: dx^2/dt^2 = f1(t, x(t), y(t), z(t), x’(t), y’(t), z’(t)) – аналогично для остальных координат. Можно привести к нормальному виду, введя u(t) = x’(t), v(t) = y’(t), w(t) = z’(t), получим систему …. Для однозначного определения очевидно достаточно задать начальные значения. Модели динамики популяции: Число организмов от t – u(t). Если скорость рождаемости и смертность пропорциональны u, то du(t)/dt = au(t) – bu(t), a – коэффициент рождаемости, b – коэффициент смертности. Те u(t) = Cexp{(a-b)t}, C – произвольная постоянная. Можно написать для жертв и хищников.

Билет 2. Понятие решения ОДУ первого порядка. ОДУ в симметричной форме. Общий интеграл.

y’(t) = f(t, y(t)) (1). Пусть f(t, y) определена и непрерывна в D. Функция y(t) называется решением (1), если y(t) Є C1[a, b]; (t, y(t)) Є D, для всех t Є [a, b]; y’(t) = f(t,y(t)) для всех t Є [a, b]. Пусть y(t) – решение ур-я на [a, b]. Рассмотрим мн-во точек (t, y(t)), t Є [a, b]. Это мн-во – интегральная кривая, из определения к каждой её точке существует касательная. Направляющий вектор касательной к интегральной кривой в точке (t0, y(t0) равен (1, f(t0, y(t0)). При интегрировании уравнения могут получаться как семейства решений y(t, C), так и отдельные решения. Решение ДУ называется частным, если во всех точках его интегральной кривой выполняется условие единственности, те её не касаются другие интегральные кривые ур-я. Решение ДУ называется особым, если в каждой точке его интегральной кривой происходит касание с другими интегральными кривыми. ДУ в симметричном виде (в диф-алах) называется M(t, y)dt + N(t, y)dy = 0 (2). Предполагается, что M(t, y) и N(t, y) определены и непрерывны в некоторой D Є R^2, и |M(t, y)| + |N(t, y)| > 0, для любых (t, y) Є D. Уравнение (2) – обобщение (1). Пара функций t = h(u), y = q(u) называется параметрическим решением ур-я (2) на [u1, u2], если h(u), q(u) Є C1[u1, u2], |h'(u)| + |q'(u)| > 0 при u Є [u1, u2]; (h(u), q(u)) Є D при u Є [u1, u2]; M(h(u), q(u))h’(u) + N(h(u), q(u))q’(u) = 0, для любого u Є [u1, u2]. Интегральной кривой ур-я в симметричной форме называется совокупность (t, y): t = h(u), y = q(u), u Є [u1, u2]. Из условий в определении получаем, что в окрестности каждой из u Є [u1, u2] одна из производных не обращается в 0, значит в окрестности каждой из точек можно получить обратную функцию и либо y = q(h^-1(u)) в окрестности t0=h(u0) либо t = h(q^-1(u)) в окрестности y0 = h(t0). Пусть функция H(t, y, c) определена и непрерывна для (t, y) Є D и постоянных c, принадлежащих некоторому C0. Уравнение H(t, y, c) = 0 называется интегралом ур-я (2) в области D, если при любом значении c Є C0 оно определяет решение (2). Интеграл называется общим, если он определяет все решения (2), те для любого решения (2) t = h(u), y = q(u), интегральная кривая которого лежит в D, найдется постоянная c_ Є C0 такая, что H(h(u), q(u)) = 0 для любого u.

Билет 3. Уравнение в полных дифференциалах (УПД). Теорема о существовании общего интеграла. Теорема о необходимом и достаточном условии УПД.{(2) – из предыдущего билета}.

ДУ в симметричном виде называется УПД в области D, если существует V(t, y) Є C1D такая, что |dV(t,y)/dt| + |dV(t,y)/dy| > 0 и M(t, y) = dV(t.y)/dt, N(t, y) = dV(t, y)/dy, для любых (t, y) Є D. Т УПД имеет в области D общий интеграл V(t, y) = C. Док-во: 1) проверим, что V(t, y) = C – интеграл. Имеем, что dV(t0, y0)/dt = M(t0, y0) ≠ 0, либо dV(t0, y0)/dy = N(t0, y0) ≠ 0. Пусть для определенности верно второе. По т о неявной функции в некоторой окрестности t0 существует единственная непрерывно диф-мая функция y = g(t) такая что y0 = g(t0) и V(t, g(t)) = C0 в рассматриваемой окрестности. Возьмем диф-лы левой и правой частей. dC0 = 0 = dV(t, g(t)) = (dV(t, y)/dt)dt + (dV(t, g(t))/dy)dg(t) = M(t, g(t))dt + N(t, g(t))g’(t)dt, те t = t, y = g(t) – параметрическое решение (2). 2) Проверим, что интеграл общий. Пусть t = h(u), y = q(u), u Є [u1, u2] – произвольное решение (2), такое, что (h(u), q(u)) Є D при u Є [u1, u2]. Покажем существование C, такого что V(h(u), q(u)) = C, u Є [u1, u2]. Из определения ДУ d/dtV(h(u), q(u) = M(h(u), q(u))h’(u) + N(h(u), q(u))q’(u) = 0, те V(h(u), q(u)) = C, для любого u Є [u1, u2]. ЧТД. Замечание: из док-ва следует, что через любую точку из D проходит единственная интегральная кривая УПД. Замечание: если ввести векторное поле a (t,y) = (M(t, y), N(t, y)) то оно должно быть потенциальным для того, что бы уравнение было УПД. Т Пусть функции M(t, y), N(t, y) и их частные производные первого порядка непрерывны в прямоугольнике D со сторонами, параллельными координатным осям, и выполнено условие |M(t, y)| + |N(t, y)| > 0. Тогда для того, чтобы (2) было УПД в D, необходимо и достаточно, чтобы dM(t.y)/dy = dN(t, y)/dt, для любых (t, y) Є D. Док-во: Необходимость: dM(t, y)/dy = d^2V(t,y)/dtdy = dN(t, y)/dt. Достаточность: рассмотрим V(t, y) = $<t0, t>M(ξ, y)dξ + $<y0, y>N(t0, r)dr, где (t0, y0) – фиксированная точка прямоугольника D. dV(t, y)/dt = M(t, y); dV(t, y)/dy = $<to, t>dM(ξ, y)dξ/dy + N(t0, y) = $<t0, t>dN(ξ, y)dξ/dt + N(t0, y) = N(t, y). Следовательно V(t, y) – удовлетворяет определению. ЧТД.