Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.

Пусть u(x-) = u(x1,…,xn) – функция от x-(x1,…,xn) Є D0, D0 – область в R^n. Уравнение F(x1,…,xn, u, du/dx1,…,du/dxn) = 0 называется ДУ в частных производных 1ого порядка, если заданная функция F(x1,…,xn, u, p1,…,pn) существенно зависит от последних n аргументов. ДУ в частных производных называется квазилинейным, если в это ур-е производные входят линейно, те Add<j=1, n>aj(x1,…,xn,u(x-))du(x-)/dxj = b(x1,…,xn, u(x-)), где функции aj(x-, u) = aj(x1,…,xn, u), b(x-, u) = b(x1,…,xn, u) считаются заданными функциями на некотором мн-ве D1 Є R^(n+1), причем всюду в D1 выполнено условие Add<j=1, n>aj^2(x-, u) ≠ 0. ДУ в частных производных называется линейным однородным, если коэффициенты этого ур-я не зависят от u, а правая часть равна 0. Add<j=1, n>aj(x-)du(x-)/dxj = 0, где aj(x-) заданы на D0 Є R^n, причем всюду в D0 выполнено условие Add<j=1,n>aj^2(x-) ≠ 0. Очевидно, что ЛОД в частных производных - частный случай квазилинейного ур-я. Функция u(x-) называется решением квазилинейного ур-я в частных производных первого порядка в области D0 Є R^n, если 1) u(x-) непрерывно диф-ма в D0; 2) для любого x- Є D0 точка (x-, u(x-)) Є D1; 3) при подстановке функции u(x-) в обе части квазилинейного ур-я получается тождество в области D0. Рассмотрим ЛОДУ в частных производных первого порядка в области D0 Є R^n: a1(x-)du/dx1 + a2(x-)du/dx2+…+an(x-)du/xn = 0, aj(x-) Є C1(D0), j = 1,…,n, Add<j=1, n>aj(x-)^2 ≠ 0, для любого x- Є D0 (19). По коэффициентам (19) построим с ОДУ n-ого порядка {dx1(t)/dt = a1(x1(t),…,xn(t)),…,dxn(t)/dt = an(x1(t),…,xn(t))}(20). Решения x-(t) = (x1(t),…,xn(t)) системы (20) определяют фазовые кривые в пр-ве R^n, которые называются характеристиками ур-я в частных производных. Лемма: функция u(x-) Є C1(D0) является решением ЛОДУ в частных производных (19) тогда и только тогда, когда u(x-) является не содержащим t первым интегралом системы (20) в области D0. Док-во: Пусть u(x-) – не содержащий t первый интеграл (20) в области D0. Тогда по лемме о первом интеграле его производная в силу системы (20) равна 0 в области D0: du/dt|(20) = Add<j=1, n>du(x-)/dxjaj(x-) = 0, для любого x- Є D0. Поэтому u(x-) – решение (19). Обратно – пусть u(x) – решение (19). Тогда его левая часть представляет собой выражение для производной u-(x) в силу (20) это выражение равно 0 в области D0. По лемме заключаем, что это первый интеграл. ЧТД. Т Пусть в области D0 система (20) имеет ровно n-1 не содержащих t функционально независимых первых интегралов v1(x1,…,xn),…,v<n-1>(x1,…,xn). Тогда в некоторой окрестности точки M0(x10,…,xn0) Є D0 общее решение ЛОУ в частных производных имеет вид u(x-) = F(v1(x-),…,v<n-1>(x-)), где F(y1,…,y<n-1>) – произвольная непрерывно диф-мая функция. Док-во: если vj(x-) – первые интегралы системы (20), то для любой … F(y1,…,y<n-1>) функция u-(x) тоже первый интеграл, не зависящий от t. Тогда по лемме u(x-) – решение однородного ур-я. Убедимся, что формулой охватываются все решения в окрестности каждой M0. Пусть u(x-) – произвольное фиксированное решение u(x-) = F(…). Так как функции v1(x-),…,v<n-1>(x-) – первые интегралы, то они решения. Те {Add<j=1, n>aj(x-)du(x-)/dxj = 0,Add<j=1, n>aj(x-)dv1(x-)/dxj = 0,…,Add<j=1, n>aj(x-)dv<n-1>(x-)/dxj = 0}(21). В каждой точке x- Є D0 (из 20) система (21) представляет собой имеющую нетривиальное решение a1(x-),…,an(x-) однородную систему линейных алгебраических ур-й. Определитель этой системы, представляющей собой определитель функциональной матрицы, равен 0. D(u, v1,…,v<n-1>)/D(x1,…,xn) = 0, для любого x Є D0. При этом в силу функциональной независимости v1(x-),…,v<n-1>(x-) соответствующий минор (n-1)ого порядка отличен от 0. Тогда по т о функциональных матрицах в окрестности каждой точки M0 найдется непрерывно диф-мая функция F(y1,…,y<n-1>) такая, что в окрестности M0 справедливо условие Т.

Билет 41. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Теорема о неявном определении решения через первый интеграл. Характеристики. Необходимое и достаточное условие для решения уравнения.

Рассмотрим квазилинейное ур-е в частных производных первого в области D Є R^(n+1) a1(x-, u(x-))du/dx1 + a2(x-, u(x-))du/dx2 +…+an(x-, u(x-))du/dxn = b(x-, u(x-)), aj(x-, u), b(x-, u) Є C1Δ, j=1,…,n, Add<j=1, n>aj(x-, u)^2 ≠ 0, для любых (x-, u) Є D. Построим систему {dx1/dt = a1(x-, u)…dxn/dt = an(x-, u), du/dt = b(x-, u)}. Решения (x1(t),…,xn(t), u(t)) системы определяют фазовые кривые в пр-ве R^(n+1), которые называются характеристиками ур-ями в частных производных. Т Пусть v(x-, u) – не содержащий t первый интеграл системы в области D, и в некоторой точке N0 Є D выполнены условия v(N0) = C0, dv(N0)/du ≠ 0. Тогда в некоторой окрестности точки N0 уравнение u(x1,…,xn, u) = C0 определяет неявную функцию u = u(x1,…,xn), являющуюся решением квазилинейного ур-я. Док-во: Пусть v(x-, u) – не содержащий t первый интеграл системы. По лемме о св-ве первого интеграла его производная равна 0 в области D. В силу т о неявной функции существует окрестность точки N0(x10,…,xn0) в которой определена непрерывно диф-мая функция u = u(x1,…,xn) обращающая v(x1,…,xn, u(x1,…,xn)) = C0 в тождество. По формуле диф-я неявной функции получаем dv/dxj = -dv/du du/dxj, j = 1,…,n. После подстановки в лемму о первом интеграле и деления на dv/du ≠ 0 приходим к Add<j=1, n>aj(x-, u(x-))du/dxj = b(x-, u(x-)) В рассматриваемой окрестности N0. Те u(x) – решение квазилинейного ур-я в частных производных.

Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

Рассмотрим в случае n= 2 квазилинейно ур-е в частных производных a1(x, y, u)du/dx + a2(x, y, u)du/dy = b(x, y, u), где b(x, y, u), aj(x, y, u) Є C1(D), D – область из R^3, a1(x, y, u)^2 + a2(x, y, u)^2 ≠ 0, для любых (x, y, u) Є D. Задача Коши для этого ур-я состоит нахождении поверхности u = f(x, y), задаваемой решением квазилинейного уравнения в частных производных и проходящей через заданную линию l = {(x, y, u) = (h1(s), h2(s), h3(s)), s Є [s0, s1]} Є D, те h3(s) = f(h1(s), h2(s)), для любого s Є [s0, s1]. Т Пусть выполнено условие det (a1(s) h1’(s) / a2(s), h2’(s)) ≠ 0, s Є [s0, s1], aj (s) = aj (h1(s), h2(s), h3(s)), j= 1, 2. Тогда в окрестности каждой точки лини l существует единственное решение задачи Коши. Док-во: рассмотрим систему характеристик для квазилинейного ур-я в частных производных {dx/dt = a1(x, y, u); dy/dt = a2(x, y, u); du/dt = b(x, y, u)}. Задача Коши с начальными при t = 0 данными на кривой l x|t=0 = h1(s), y|t=0 = h2(s), u|t=0 = h3(x) имеет единственное решение x = j1(t, s), y = j2(t, s), u = j3(t, s). Имеем j1(0, s) = h1(s),…, s Є [s0, s1]. Формула x=j1… задает параметрическое представление некоторой поверхности P. Линия l лежит на этой поверхности по построению. Покажем, что в окрестности каждой точки эта поверхность, состоящая из характеристик, может быть записана в виде u = f(x, y)