Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.




Читайте также:
  1. Алгоритм решения транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов
  2. Анализ алгоритмов линейного поиска
  3. Анализ альтернатив управленческих решений
  4. Анализ внешней среды при разработке управленческих решений
  5. Анализ возможных экологических и связанных с ними социальных, экономических и других последствий реализации альтернатив решений по объекту
  6. Анализ существующих аналогов проектных решений квартир студий
  7. Анализ существующих решений для построения сети
  8. Аналитический обзор существующих решений.
  9. Архитектура БД. Физическая и логическая независимость.
  10. Б) Коллективные методы принятия решений.

Рассмотрим однородное ЛДУ порядка n на [a, b] с непрерывными на отрезке действительными коэффициентами aj(t), j=0,…,n, a0(t) ≠ 0 на [a, b]: a0(t)y(n)(t) +…+an(t)y(t)=0 (8). Рассмотрим систему скалярных функций y1(t)…yn(t), являющихся решением (8). Кол-во функций совпадает с порядком уравнения. Т Для решений y1(t),…,yn(t) линейного однородного ур-я (8) на [a, b] справедливо: либо W[y1…yn](t) = 0 на [a, b] и функции линейно зависимы, либо W[y1,…,yn](t) ≠ 0 для любого t Є [a, b] и функции y1(t),…,yn(t) линейно независимы на [a, b]. Док-во: пусть t0: W[y1,…,yn](t0) = 0. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно c1,…,cn. {c1y1(t0)+…+cnyn(t0)=0,…,c1y(n-1)(t0) +…+cnyn(n-1) = 0}. Так как определитель равен определителю Вронского и равен 0, то система имеет нетривиальное решение c~1,…,c~n. Рассмотрим y~(t) = Add<k=1, n>c~kyk(t). Эта функция как линейная комбинация – тоже решение. Из системы она удовлетворяет y~(m)(t0) = 0, m=0,…,n-1. Те она решение (8) и удовлетворяет 0м начальным условиям. По Т единственности решения задачи Коши она равна 0 (тождественный 0 удовлетворяет). Те функции линейно зависимы. Если одна точка отлична от 0 то по Б14 функции линейно независимы.

 

Билет 16. Фундаментальная система решений (ФСР) для линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Фундаментальной системой решений ЛОДУ n-ого порядка на [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого ур-я. Т у любого ЛОДУ существует ФСР на [a, b]. Док-во: Рассмотрим постоянную матрицу B Є [n, n] такую, что её определитель отличен от 0. Построим n задач Коши yj(t0) = b1j,…,yj(n-1)=bnj, j=1,…,n. Определить Вронского для решений этих задач в t0 равен detB ≠ 0. По Б15 не равен ни в одной точке, значит функции линейно независимы и являются ФСР. ЧТД. Замечание: ФСР определена не однозначно. Замечание: в силу вещественности aj ФСР может быть выбрана вещественной. Общим решением ЛОДУ n-ого порядка называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого ур-я такое, что любое другое решение ур-я может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных. Т Пусть y1(t)…yn(t) – ФСР на [a, b]. Тогда общее решение этого ур-я на рассматриваемом отрезке имеет вид yoo(t) = c1y1(t) + …+cnyn(t), cj Є C. Док-во: Так как линейная комбинация решений однородного решения – решение этого ур-я, то yoo – решение этого ур-я. Покажем, что любое решение может быть получено из yoo. Пусть y~(t) – решение. Рассмотрим систему: {c1y1(t0) + …. + cnyn(t0) = y~(t0),…,c1y1(n-1)(t0)+…+cnyn(n-1)(t0) = y~(n-1)(t0)} относительно c1,…,cn. Определитель отличен от 0, значит есть единственное решение. Те получили константы. ЧТД. Следствие: ЛОДУ n-ого порядка не может иметь более чем n линейно независимых решений.



 


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 13; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты