Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.

Функция V(y-):R^n à R называется положительно определенной на Q ( 0 Є Q), если: 1) V(y-) >= 0, y- Є Q; 2) V(y-) = 0 ó y- = 0. Для определенности будем полагать Q шаром, радиуса R > 0 с центром в начале координат. Лемма: пусть V(y~) – непрерывная и положительно определенная на Q функция. Тогда: 1) для любого eps1 > 0 существует eps2 > 0 такое, что из условие y- Є Q, ||y-|| >= eps1 выполняется неравенство V(y-) >= eps2; 2) для любого eps2 > 0 существует eps3 > 0 такое, что из условия y- Є Q, V(y-) >= eps2 вытекает ||y-|| >= eps3. Док-во: от противного. 1) пусть существует eps1 > 0: для любого eps2 > 0 существует точка y- такая, что eps1 <= ||y-|| <= R и V(y-) < eps2. Выберем последовательность 0 < eps2 à 0. Тогда есть последовательность yk, для которой e1<=||yk|| <= R, V(yk-) à 0. Из последовательности можно выбрать сходящуюся, предел которой принадлежит мн-ву. Значение в пределе 0, значит он 0. Противоречие. 2) Аналогично строем последовательность. Противоречие с 1). ЧТД. Следствие: последовательность точек сходится к 0 тогда и только тогда, когда последовательность их значений сходится к 0. Если при t >= 0 вектор-функция y-(t) Є Q, то при tàinf y-(t)à0 тогда и только тогда, когда V(y-(t))à0. Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы ОДУ dy-(t)/dt = f-(t, y-(t)),(12) y-(0) = y0- Є Q, где все fj(t, y1,…,yn) определены и непрерывны на [0, inf) x Q, причем fj(t,0,…,0) = 0, j=1,…,n, t >= 0. Непрерывно диф-мая и положительно определенная на Q функция V(y-) называется функцией Ляпунова (12), если Add<j=1, n>[dV(y-)/dyj]fj(t, y-) <= 0, для любого y- Є Q, t >= 0. Т пусть на Q существует функция Ляпунов для (12). Тогда нулевое решение y-(t, 0) = 0 системы (12) является устойчивым по Ляпунову. Док-во: зафиксируем произвольное eps1 Є (0, r). В силу леммы найдется eps2 = eps2(ep1) такое, что как только ||y|| >= eps1, то V(y-) >= eps2. В силу непрерывности V(y-) в 0 для eps2 найдется δ такое, что из неравенства ||y-|| < δ вытекает V(y-) <= eps2/2. Без ограничения общности можно считать, что δ < eps1. В 0 верно – V(y-(0)) <= eps2/2. В силу непрерывности ||y(t)|| <= eps1 остается справедливым в некотором полуинтервале t Є [0, t1). Если t1 = +inf, то устойчивость доказана. Если для некоторого момента окажется выполнено противоположное неравенство ||y-(t1)|| >= eps1 то V(y-(t1)) >= eps2. Получаем V(y-(t1)) – V(y-(0)) >= eps2 – eps2/2 = eps2/2 > 0. С другой стороны dV(y-(t))/dt = Add<j=1, n>[dV(y-(t)/dyj][dyj(t)/dt] = Add<j=1, n>[dV(y(t)-)/dyj]fj(t, y-(t)) <= 0, t Є [0, t1]. Те V-(y-(t)) не возрастает на [0, t1]. что противоречит построенному нами неравенству. ЧТД. Т Пусть на мн-ве Q существует функция Ляпунова V(y-) системы (12), удовлетворяющая неравенству Add<j=1, n>dV(y-)/dyj fj(t, y-) <= -W(y-), для любого y- Є Q, t >= 0, где W(y-) – некоторая непрерывная положительно определенная на Q функция. Тогда нулевое решение y-(t, 0) = 0 системы (12) является асимптотически устойчивым. Док-во: Устойчивость по Ляпунову нулевого решения из предыдущей теоремы. Остается доказать, что для y-(t) = y-(t, y0-) задачи Коши выполнено y-(t) à 0 при tàinf, если y0- принадлежит некоторой окрестности нулевого решения. Из предыдущей Т вытекает ограниченность траектории y-(t), поскольку она принадлежит eps1 – окрестности 0го решения. Поэтому и функции V(y-(t)), являясь скалярно функцией аргумента t, ограничена снизу и не возрастает, благодаря неравенству на производную. Тогда существует lim<tàinf>V(y-(t)) = a >= 0. Если a > 0, то V(y-(t)) >= a è ||y-(t)|| >= eps3 > 0 для всез t >= 0, где eps3 = eps3(a). Применив лемму для W(y-) убеждаемся в W(y-(t)) >= b для всех t >= 0, b = b(eps3) > 0. Тогда при tàinf из формулы Лагранжа получаем V(y-(t)) – V(y-(0)) = dV(y-(ξ))t/dt <= -W(y-(ξ))t <= -bt à -inf, что противоречит положительной определенности V(y-). ЧТД.