Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.

Т Пусть функция f(t, y, m) непрерывна в Qm и имеет в Qm непрерывные частные производные f’y(t, y, m), f’m(t, y, m), а функция y0(m) непрерывно диф-ма на [m1, m2]. Тогда, если y(t, m) - решение задачи Коши на [t0 – T, t0 + T] для всех m Є [m1, m2], то y(t, m) имеет при t Є [t0 – T, t0 + T], m Є [m1, m2] производную по m. Док-во: Пусть m, m + дm – две произвольные точки из [m1, m2]. Определим v(t, m, дm) = (y(t, m + дm) – y(t, m))/дm, t Є [t0- T, t0 + T]. В силу того, что y – решение задачи Коши, то v’(t, m, дm) = [f(t, y(t, m + дm), m + дm) – f(t, y(t, m), m)]/дm. Разобьем на две дроби и применим формулу конечных приращений [f(t, y(t, m + дm), m + дm) – f(t, y(t, m), m + дm)]/дm = $<0, 1>f’y(t, y(t,m) + O(y(t, m + дm) – y(t, m)), m + дm)dO[y(t, m + дm) – y(t, m)]/дm. Введем функию p(t, m, дm) = $<0, 1> f’y(t, y(t, m) + O(y(t, m + дm) – y(t, m)), m + дm)dO, q(t, m, дm) = [f(t, y(t, m), m + дm) – f(t, y(t, m),m)]/дm. Учитывая обозначения, получаем, что отношение [f(t, y(t, m + дm), m + дm) – f(t, y(t, m,m)]/дm = p(t, m, дm)v(t, m, дm) + q(t, m, дm). Подставим в v’(t, m, дm) = p(t, m, дm)v(t, m, дm) + q(t, m, дm). Из определения v получаем, что она удовлетворяет начальному условию v(t0, m, дm) = [y0(m+дm) – y0(m)]/дm. Решение задачи Коши имеет вид v(t, m, дm) = v0exp{$<t0, t>p(ξ, m, дm)dξ} + $<t0, t>q(u, m, дm)exp{$<u, t>p(ξ, m, дm)dξ}du, t Є [t0 – T, t0 + T]. Для док-ва существования производной достаточно показать, что v(t, m, дm) имеет предел при дm à 0. lim<дmà0>[y0(m + дm) – y0(m)]/дm = dy0/dm(m). lim<дmà0>p(t, m, дm) = df/dy(t, y(t, m), m). lim<дmà0>q(t, m, дm) = df/dm(t, y(t, m), m) те предел правой части существует. Мы получаем dy/dm(t, m) = dy0/dm(m)exp{$<t0, t>f’y(ξ, y(ξ, m), m)dξ} + $<t0, t>f’m(u, y(u, m),m)exp{$<u, t>f’y(ξ, y(ξ, m), m)dξ}du. ЧТД.

Билет 30. Основные понятия теории устойчивости. Теоремы об устойчивости и неустойчивости решения линейной системы. Теорема об исследовании устойчивости решения системы по первому приближению (формулировка).

Без ограничения общности полагаем t0 = 0. Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных ур-й первого порядка относительно искомой вектор-функции y-(t). dy-(t)/dt = f-(t, y-(t)), y-(t0) = y0-. Предполагается, что fi(t, y-) определены и непрерывны вместе с частными производными dfi(t, y_)/dyj на мн-ве П = [0, inf) x R^n (n – размерность системы). Тогда по теореме о существовании и единственности решения задачи Коши для любых начальных данных y0- Є R^n система имеет на некотором отрезке [0, T] единственное решение y-(t, y0-), в обозначении которого отражена зависимость от начального состояния. ||y-|| - евклидова норма вектора. Решение y-(t, y0-) задачи Коши называется устойчивым по Ляпунову, если для любого eps > 0 существует δ(eps, y0-) такое, что для любых начальных данных y0~, удовлетворяющих условию ||y0~ - y0-|| < δ соответствующие решения y~(t; y0~) задачи Коши для системы существуют для всех t >= 0 и удовлетворяют неравенству ||y-(t, y0~) – y-(t, y0-)|| < eps, для любых t Є [0, inf). Решение задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует δ0 > 0 такое, что для любых начальных данных y0~, удовлетворяющих условию ||y0~ - y0-| < δ0, существует предел lim<tàinf>||y-(t, y0~) – y-(t, y0-)|| =0. В случае, если f-(t,0,…,0) = 0, y0-= 0 задача Коши имеет нулевое решение: y-(t, 0) = 0, t >= 0. Нулевое решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любых начальных данных, удовлетворяющих условию ||y0~|| <= δ(eps), соответствующие решения y-(t, y0~) задачи Коши для системы существуют для всех t >= 0 и ||y-(t, y0~)|| < eps, для любого t Є [0, inf). В противном случае нулевое решение называется неустойчивым по Ляпунову. Нулевое решение задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое δ0 > 0, что для любых начальных данных y0~, удовлетворяющих условию ||y0~|| <= δ0, существует предел lim<tàinf>||y-(t, y0~)|| = 0. Проблему устойчивости задачи Коши можно свести к новой системе, введя неизвестные x-(t) = y-(t) – y-(t, y0-). Так как y-(t) – решение системы, то для x-(t) имеет x-(t)/dt = y-(t)/dt – y-(t, y0-)/dt = f-(t,y-(t)) – f-(t, y-(t, y0-)) = f-(t, x-(t) + y-(t, y0-)) – f-(t, y-(t, y0-)). Те x-(t) – решение системы x-(t)/dt = f-(t, x-(t) + y-(t, y0)) – f-(t, y-(t, y0)). Решение x-(t, 0) этой системы с 0м начальным условием равно 0. Те достаточно ограничится 0м решением. Т (без док-ва) Пусть функции fj(y-) дважды непрерывно диф-мы в некоторой окрестности начала координат, j=1,..,n. Если все собственные значения матрицы A = (dfi(0,…,0)/dyi) имеют отрицательные вещественные части (Relk < 0, для любого k =1,…,n), то нулевое решение системы асимптотически устойчиво по Ляпунову. Если есть хоть одно собственное значение с строго положительной вещественной частью, то нулевое решение не устойчиво по Ляпунову.