Описательная статистика

Термин «описательная статистика» применяют к процедурам для представления количественных данных способом, который позволяет определить характеристики распределения данных.

Типичные исследуемые характеристики данных - это расположение центра данных (наиболее часто описываемое средним значением) и рассеивание данных или разброс (обычно измеряемые интервалом или стандартным отклонением). Другой характеристикой является распределение данных, для которого имеются количественные меры, описывающие форму распределения (например, степень асимметрии).

Информация, представляемая описательной статистикой, часто может просто и эффективно передаваться с помощью различных графических методов, которые включают в себя:

- диаграммы, отражающие тенденции изменения наблюдаемой характеристики во

времени;

- график относительного разброса двух переменных, когда значение одной из них

откладывается на оси х, а соответствующее значение другой - на оси у;

- гистограмма, отражающая распределение наблюдаемой характеристики.

Имеется большое количество графических методов, которые могут быть полезны для анализа и представления данных.

Диапазон таких методов простирается от простых методов построения гистограмм, круговых диаграмм до представлений более сложного характера, использующих многомерную графику с несколькими переменными и специальные шкалы, такие как вероятностные графики.

Использование графических методов полезно для выявления необычного поведения данных, которое непросто обнаружить при количественном анализе. Эти методы широко используют при проверке соотношений между переменными и при оценке параметров, которые описывают такие соотношения. Графические методы эффективно используют для комплексного рассмотрения и представления сложных данных.

Описательную статистику (в т. ч. графические методы) применяют во многих статистических методах, приведенных в настоящем стандарте. Их следует рассматривать как необходимый компонент статистического анализа.

Метод используют для общего рассмотрения и описания данных. Он обычно является начальным шагом при анализе количественных данных и использовании других статистических процедур. Характеристики выборочных данных могут служить основанием для выводов относительно характеристик всей совокупности данных с заданными уровнями доверия и ошибки. Метод предлагает эффективный и относительно простой способ рассмотрения и описания данных, а также удобный способ представления такой информации. В частности, графические методы очень удобны для представления и передачи информации. Описательная статистика применима во всех случаях использования данных и может быть полезна при анализе и принятии решений.

Планирование экспериментов (DOE) относится к исследованиям, выполняемым по выбранному плану и основанным на статистической оценке результатов для получения решения, соответствующего установленному уровню доверия.

Типичное DOE включает в себя анализ изменений, влияющих на работу исследуемой системы, и статистическую оценку воздействия таких изменений на систему. Его целью может быть подтверждение значения некоторой характеристики системы или исследование влияния одного или большего количества факторов на некоторые характеристики системы.

Определенный порядок и способ, в соответствии с которыми должны быть выполнены эксперименты, называются «планом эксперимента», и такой план зависит от поставленной цели и условий, при которых эксперименты должны проводиться.

Имеется несколько методов, используемых для анализа данных эксперимента.

Диапазон таких методов простирается от аналитических методов, таких как «дисперсионный анализ» («ANOVA»), до графических методов, таких как «графики вероятности». DOE может использоваться для оценки некоторой характеристики продукции, процесса или системы с целью подтверждения установленных требований или для сравнительной оценки нескольких систем.

Главное преимущество DOE - относительная эффективность и экономичность при исследовании воздействия на процесс многочисленных факторов по сравнению с исследованием воздействия каждого отдельного фактора. Кроме того, способность DOE идентифицировать взаимодействие между отдельными факторами способствует более глубокому пониманию процесса. Такие достоинства становятся особенно явными при работе со сложными процессами, т. е. процессами, на которые влияет большое количество факторов.

Проверка гипотез представляет собой статистическую процедуру оценки соответствия совокупности данных (обычно из выборки) конкретной гипотезе с заданным уровнем риска. Гипотеза может относиться к предположению о специфическом статистическом распределении, модели или к значению некоторого параметра распределения (такого, как среднее значение).

Процедура проверки гипотез включает в себя оценку фактов (в форме данных) для принятия решения о справедливости конкретной гипотезы относительно статистической модели или параметра.

Проверку гипотез явно или неявно используют во многих статистических методах, упоминаемых в настоящем стандарте, таких как выборочный контроль, карты статистического управления процессом (СКП), планирование эксперимента, регрессионный анализ, измерительный анализ и т. п.

Проверку гипотез широко используют для принятия решений с заданным уровнем доверия о справедливости гипотезы относительно параметра совокупности (оцененного по выборке). Таким образом, процедура может применяться, чтобы проверить, удовлетворяет ли параметр совокупности установленным требованиям.

Проверка гипотез может использоваться для выявления различий в двух или более совокупностях. Проверку гипотез используют для проверки справедливости предположений, заложенных в модели, например является ли распределение совокупности нормальным, являются ли данные по выборке случайными и т. п. Проверку гипотез используют также для определения интервала значений, который с заданным уровнем доверия «накрывает» рассматриваемый параметр (этот интервал называется «доверительным интервалом»). Проверка гипотез позволяет сделать утверждение относительно параметра совокупности с заданным уровнем доверия. Этот подход используют при принятии решений, зависящих от параметра.

Измерительный анализ (известный также как «анализ неопределенности измерений» или «анализ системы измерений») представляет собой набор процедур для оценки неопределенности систем измерения в диапазоне условий, в которых система работает. Погрешности измерений могут быть проанализированы с применением тех же методов, которые используют при анализе характеристик продукции.

Неопределенность измерений всегда должна приниматься во внимание. Измерительный анализ используют, чтобы оценить, с заданным уровнем доверия, пригодна ли система измерения для предназначенной цели. Измерительный анализ используют для определения величины вариаций различного происхождения, таких как вариации, вносимые проводящим измерения персоналом, или вариации, присущие самому инструменту измерения. Его используют также для описания вариаций, вносимых системой измерения, как части общей вариации процесса или общей допустимой вариации.

Измерительный анализ обеспечивает простой количественный способ выбора измерительных инструментов или решения вопроса о пригодности измерительных инструментов для оценки исследуемых параметров продукции или процесса.

Измерительный анализ обеспечивает основу для сравнения и согласования различий в измерениях, определяя величину вариаций различного происхождения непосредственно в системах измерения.

Анализ возможностей процесса представляет собой изучение присущей процессу изменчивости и распределения характеристик процесса для оценки его способности производить продукцию, соответствующую установленным требованиям.

Когда измеряемыми переменными являются данные продукции или процесса, присущая процессу изменчивость характеризуется «разбросом» процесса, если процесс находится в состоянии статистического управления и обычно измеряется как шесть стандартных отклонений (6σ) определения процесса. Если параметры процесса подчиняются нормальному распределению (описываются кривой в виде колокола), этот интервал теоретически охватывает 99,73 % всей совокупности.

Возможность процесса обычно выражается в виде показателя, который связывает фактическую изменчивость процесса с допуском, установленным в спецификациях. Широко используемый показатель изменчивости для переменных данных Сp- это отношение общего допуска к величине 6σ, которая является мерой теоретической изменчивости процесса, точно центрированного между пределами, задаваемыми в спецификации. Другой широко используемый показатель Срк, описывающий фактическую возможность процесса, может быть как центрированным, так и нецентрированным. Показатель Срк особенно удобен в случаях односторонних допусков. Другие показатели разработаны для учета медленных и быстрых составляющих изменчивости процесса.

При анализе таких характеристик процесса, как процент несоответствий или количество несоответствий, устанавливают такие показатели возможностей процесса, как средняя доля несоответствующих единиц или средний уровень несоответствий.

Анализ возможностей процесса используют для оценки способности процесса производить продукцию, которая стабильно соответствует требованиям спецификаций, а также для оценки ожидаемого количества несоответствующей продукции.

Анализ возможностей процесса обеспечивает оценку присущей процессу изменчивости и оценку ожидаемого процента несоответствующей продукции. Это позволяет организациям оценить стоимость несоответствия и может помочь при принятии решений относительно усовершенствования процесса.

Регрессионный анализ связывает поведение исследуемой характеристики (обычно называемой «переменной отклика») с потенциально причинными факторами (обычно называемыми «независимыми переменными»). Такие соотношения определяются моделью, которую разрабатывают на основе научных, экономических, инженерных или других исследований. Цель регрессионного анализа состоит в том, чтобы помочь понять потенциальную причину вариаций в отклике и объяснить, насколько влияет на эту вариацию каждый фактор. Это достигается установлением статистических связей вариации переменной отклика с вариациями независимых переменных и получением лучшей согласованности путем минимизации отклонений между предсказанным и фактическим откликом.

Регрессионный анализ может обеспечить понимание соотношений между различными факторами и наблюдаемым откликом. Такое понимание может помочь в принятии решений, связанных с изучаемым процессом, и будет способствовать улучшению процесса.

Регрессионный анализ позволяет в сжатом виде представлять данные отклика, сравнивать различные, но связанные наборы данных и анализировать потенциальные отношения «причина- следствие». Регрессионный анализ позволяет оценить относительные величины влияния независимых переменных, а также относительный вклад этих переменных. Эта информация очень важна при управлении или улучшении выходных характеристик процесса.

Анализ надежности представляет собой применение инженерных и аналитических методов для оценки, прогнозирования и контроля безотказной работы изделия или системы в течение рассматриваемого времени. Методы, применяемые для анализа надежности, часто требуют использования статистических методов, оперирующих с неопределенностью, случайными характеристиками или вероятностями возникновения отказов и т. п. за какое-то время. В общем случае для анализа таких переменных, как «наработка на отказ» или «наработки до отказа», применяют соответствующие статистические модели.

Параметры этих статистических моделей оценивают с помощью эмпирических данных, получаемых при лабораторных или заводских испытаниях или в процессе эксплуатации.

Анализ надежности охватывает и другие методы (такие как анализ видов и последствий отказов), в которых основное внимание сосредоточивается на физической природе и причинах отказа и предотвращении или сокращении отказов.

Статистические методы, используемые при анализе надежности, позволяют определять уровни, соответствующие оценкам параметров разработанных моделей надежности и прогнозам, основанным на использовании таких моделей

Преимущества использования статистических методов при анализе надежности:

- возможность прогнозировать и определять количественные оценки вероятности отказа и других показателей надежности с установленным уровнем доверия;

- возможность осознанного выбора решений при анализе различных вариантов конструкции, использующих разные стратегии резервирования и повышения надежности;

- разработка объективных критериев приемки или отбраковки при проведении контрольных испытаний на надежность для демонстрации выполнения требований надежности;

- возможность составлять оптимальные схемы профилактического обслуживания и замены, основанные на данных анализа надежности функционирования,

обслуживания и износа изделий;

- возможность совершенствования проекта для достижения целей в области надежности более экономными способами.

Выборочный контроль представляет собой статистический метод получения информации относительно некоторой характеристики совокупности с помощью изучения представительной части (выборки) из этой совокупности. Имеются различные методы выборочного контроля, такие как контроль по простой случайной выборке, по расслоенной выборке, систематический, последовательный, а также контроль с пропуском партий. Выбор метода определяется целью контроля и условиями, при которых он должен проводиться.

Выборочный контроль может быть условно разделен на приемочный контроль и выборочное обследование.

Приемочный контроль основан на решении относительно принятия или непринятия «партии» (т. е. группы изделий) при исследовании выборки, взятой из этой «партии». Имеется широкий диапазон планов приемочного контроля,

способный удовлетворить заданные требования и обеспечить необходимое применение.

Выборочное обследование используют при сборе сведений или проведении аналитических исследований для оценки значений одной или нескольких характеристик совокупности или для определения, как эти характеристики распределены в совокупности. Выборочное обследование часто применяют к данным опроса потребителей. Вместе с тем оно может применяться к данным, собираемым для других целей, таких как аудит.

Специализированной формой выборочного обследования являются исследования, используемые для получения информации о характеристиках совокупности или ее части. Такой формой является выборочный контроль продукции, который может проводиться, например, для проведения анализа возможностей процесса.

Оптимально построенный план выборочного контроля обеспечивает экономию времени, расходов и труда по сравнению с проверкой всех элементов совокупности или со 100 %-ным контролем партии. В случаях, когда для контроля продукции используют разрушающий контроль, выборочный контроль является единственным практическим способом получения необходимой информации.

Выборочный контроль предлагает рентабельный и экономный по времени способ получения информации относительно значений или распределения исследуемых характеристик совокупности.

Моделирование - собирательный термин для процедур, в соответствии с которыми для решения какой-либо проблемы (теоретической или эмпирической) система представляется математически с помощью компьютерной программы. Если представление использует понятия теории вероятности и специальные случайные переменные, моделирование носит название «метод Монте-Карло». Выгода использования моделирования в обучении работе со статистическими данными очевидна, так как моделирование может эффективно иллюстрировать случайные изменения.

Карта статистического управления процессом(СКП) или «контрольная карта процесса» является графическим отображением данных, полученных из выборок, которые периодически отбирают из процесса и последовательно наносят на график. На картах СКП также отмечают «контрольные границы», которые описывают присущую процессу изменчивость в устойчивом состоянии. Функция контрольной карты состоит в том, чтобы помогать оценивать стабильность процесса. Это осуществляется при изучении положения наносимых на карту данных относительно границ регулирования.

Обычная форма контрольной карты для переменных данных называется «контрольной картой Шухарта». Имеются и другие формы контрольных карт, каждая из которых обладает свойствами, удобными для применения в специальных обстоятельствах. Примерами таких контрольных карт являются карты кумулятивных сумм, которые обладают повышенной чувствительностью к небольшим изменениям в процессе, и карты скользящего среднего значения (постоянных или взвешенных), которые путем сглаживания краткосрочных изменений позволяют выявить устойчивые тенденции (тренды).

Роль и значение контрольных карт в некоторых связанных с процессом видах деятельности :

При анализе возможностей процесса (если процесс находится в устойчивом состоянии) данные контрольных карт могут использоваться для последующей оценки возможностей процесса.

При анализе системы измерений (при введении границ регулирования, которые отражают присущую системе измерений изменчивость) контрольные карты могут показать, способна ли система измерений обнаруживать представляющую интерес изменчивость процесса или изделия. Контрольные карты могут также использоваться для наблюдения непосредственно за процессом измерений.

Анализ причин и последствий (исследование корреляции между событиями процесса и данными контрольной карты) может помочь делать выводы о лежащей в основе неслучайной причине и планировать необходимые эффективные действия.

При постоянном совершенствовании процесса карты используют для контроля изменений процесса и помощи в идентификации причин изменений процесса. Эффективность использования СПК особенно высока, если их используют как часть программы непрерывного совершенствования предприятия.

Статистическое назначение допусков - это процедура, основанная на статистических принципах и используемая для установления допусков. Она применяет статистические распределения для соответствующих размеров составных частей (компонентов) при определении общего допуска для изделия в сборе.

Если задан набор индивидуальных допусков (которые не обязательно совпадают), вычисление общего статистического допуска даст значение допуска на общий размер, которое будет обычно значительно меньше, чем допуск на общий размер, рассчитанный арифметически.

Это означает, что при заданном допуске на общий размер статистическое назначение допуска позволяет использовать более широкие допуски на индивидуальные размеры, чем допуски, определяемые путем арифметических расчетов. На практике это может дать существенные выгоды, так как более широкие допуски связаны с более простыми и более рентабельными методами производства.

Анализ временных рядов - это семейство методов для изучения совокупности наблюдений, сделанных последовательно во времени. Методы анализа временных рядов используют в следующих прикладных задачах:

- обнаружение запаздывания типичных фрагментов графика при статистическом исследовании коррелированности каждого наблюдения с непосредственно предшествующим ему наблюдением для каждого следующего один за другим периода запаздывания;

- обнаружение типичных фрагментов графика, которые являются циклическими или сезонными, для исследования причинных факторов в прошлом, которые могут повлиять на будущее;

- применение статистических методов для прогнозирования будущих наблюдений или для анализа причинных факторов, которые внесли наибольший вклад в изменения временного ряда.

Методы анализа временных рядов могут включать в себя простые «тренд-карты».

Методы анализа временных рядов могут быть полезны в планировании, в разработке систем управления, в обнаружении изменений в процессе, в прогнозировании и измерении результатов внешнего воздействия.

Анализ временных рядов также полезен для сравнения проектируемого выполнения процесса с предсказанными значениями во временном ряду, если необходимо ввести изменения.

Виды статистического регулирования процессов. Задача статистического регулирования технологического процесса состоит в том, чтобы на основании результатов периодического (т. е. в динамике) контроля выборок относительно малого объема оценивать их стабильность и корректировать наладку процесса на требуемое качество.

Имеется две разновидности регулирования процессов: по количественному и альтернативному (качественному) признакам. Для каждой из разновидностей разработаны свои статистические методы регулирования.

Регулирование (или контроль) по количественному признаку заключается в определении с требуемой точностью фактических значений контролируемого параметра у отдельных представителей (выборки) продукции [35]. Затем по фактическим значениям параметра определяются статистические характеристики процесса и по ним принимаются решения о состоянии технологического процесса. Такими характеристиками являются выборочное среднее, медиана, размах и выборочное среднее квадратичное отклонение. Первые две характеристики – характеристики положения, а последние две – характеристики рассеяния случайной величины X.

Регулирование (или контроль) по альтернативному признаку заключается в определении соответствия контролируемого параметра или единицы продукции установленным требованиям. При этом каждое отдельное несоответствие установленным требованиям считается дефектом, а единица продукции, имеющая хотя бы один дефект, также считается дефектной. При контроле по альтернативному признаку не требуется знать фактическое значение контролируемого параметра – достаточно установить факт соответствия или несоответствия его установленным требованиям. Поэтому для контроля можно использовать простейшие средства: шаблоны, калибры и др. Решение о состоянии технологического процесса принимается в зависимости от числа дефектов или числа дефектных единиц продукции, выявленных в выборке.

Каждый из перечисленных способов регулирования (контроля) имеет свои преимущества и свои недостатки. Так, преимущество контроля по количественному признаку состоит в том, что он более информативен и поэтому требует меньшего объема выборки. Однако такой контроль более дорогой, поскольку для него необходимы такие технические средства, которые позволяют получать достаточно точные фактические значения контролируемого параметра. Кроме того, для статистического регулирования при контроле по количественному признаку необходимы (иногда сложные) вычисления, связанные с определением статистических характеристик.

Преимущество контроля по альтернативному признаку заключается в его простоте и относительной дешевизне, так как можно использовать простейшие средства контроля или даже визуальный контроль. К недостаткам такого контроля относится его меньшая информативность, что требует большого объема выборки при равных исходных данных.