Косвенный метод наименьших квадратов

Препятствие к применению метода наименьших квадратов, которое заключается в коррелированности эндогенных переменных со случайными членами легко преодолеть, если:

1) привести систему к виду, чтобы в правой части оставались только экзогенные переменные. Такая форма называется приведенной;

2) затем применить метод наименьших квадратов к каждому уравнению в приведенной форме и получить оценки ее параметров;

3) перейти от приведенной формы к структурной, проведя процедуру обратного преобразования параметров.

Эта методика получила название косвенного метода наименьших квадратов и позволяет получать состоятельные и несмещенные оценки параметров структурной форму системы одновременных уравнений.

Пример.

Рассмотрим самую простую структурную форму системы одновременных уравнений:

(7.1.10)

Пусть модель реализуется по следующим данным:

7.1.1 Исходные данные

Найдем отклонения от средних значений по каждой переменной (табл. 7.1.2):

Перейдем от структурной к приведенной форме, для этого выразим из первого уравнения у₂:

(7.1.11)

7.1.2. Отклонения от средних уровней

Тогда система одновременных уравнений будет иметь вид:

(7.1.12)

Приравняем правые части и выразим у₁:

;

;

. (7.1.13)

Получившееся уравнение является первым уравнением системы в приведенной форме.

Аналогичным образом поступим для получения второго уравнения. Из второго уравнения структурной формы выразим y₁:

. (7.1.14)

Подставим правую часть тождества в первое структурное уравнение:

.

Выразим y₂:

(7.1.15)

Таким образом, мы получили систему приведенных уравнений:

(7.1.16)

Обозначим для удобства восприятия получившиеся нелинейные коэффициенты при независимых переменных как :

(7.1.17)

Получим систему приведенных уравнений:

(7.1.18)

Решим систему приведенных уравнений, используя данные табл. 7.1.2, методом наименьших квадратов:

(7.1.19)

Теперь нужно перейти к структурной форме, т.е.:

Сопоставив первое уравнение приведенной и структурных форм видим, что для перехода к структурному виду следует переменную х₂ представить как комбинацию переменных у₂ и х₁. Это можно сделать, выразив х₂ из второго уравнения приведенной формы:

. (7.1.20)

Подставим х₂ в первое уравнение системы приведенной формы:

(7.1.21)

Мы получили первое уравнение системы структурной формы.

Теперь выразим переменную х₁ из первого уравнения приведенной формы:

(7.1.22)

и подставим х₁ во втрое уравнение системы приведенной формы:

(7.1.23)

Получим, таким образом, второе уравнение системы структурной формы:

(7.1.24)

Мы получили систему одновременных, структурных уравнений:

(7.1.25)

Чтобы перейти от отклонений переменных от средних к их значениям (от значений табл. 7.1.2 к табл. 7.1.1), нужно определить свободные члены для каждого из уравнений. Рассчитываются они по формулам:

(7.1.26)

Подставим средние значения (табл. 7.1.1) и коэффициенты при переменных в структурной форме:

(7.1.27)

Тогда система структурных уравнений примет вид:

(7.1.28)

Полученные оценки являются состоятельными и несмещенными, в отличие от оценок метода наименьших квадратов, если применить его к каждому уравнению в отдельности, то получим уравнения множественной регрессии:

(7.1.29)

Как видно, различия значительны, особенно во втором уравнении, где имеется даже несовпадение знаков коэффициента при у₁.

Проблема идентификации

Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно определен с помощью метода наименьших квадратов. Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.

Модель 7.1.10 – точно идентифицируемая, при переходе от приведенной к структурной форме мы получили единственно возможные оценки.

Структурный параметр называется неидентифицируемым, если его значение невозможно получить, даже зная точные значения параметров приведенной формы.

Полная форма структурной модели (7.1.5), где присутствуют все переменные, всегда неидентифицируема.

Структурный параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.

Модель:

(7.1.30)

будет сверхидентифицируемой, поскольку из восьми коэффициентов приведенной формы нельзя однозначно определить семь – структурной формы.

Сверхидентифицируемая система в отличие от неидентифицируемой практически решаема, но не косвенным методом наименьших квадратов, а специальными методами.

Для проверки структурной модели на идентификацию, нужно проверить каждое уравнение системы:

1) модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо;

2) если хотя бы одно уравнение неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой;

3) если в модели нет неидентифицируемых уравнений, но присутствует хотя бы одно сверхидентифицируемое, то модель – сверидентифицируемая.

Условия идентифицируемости проверяются для каждого уравнения в отдельности. Чтобы уравнение было идентифицируемым, нужно, чтобы:

1+n_x=n_y,

где n_x – число экзогенных переменных, содержащихся в системе, но отсутствующих в данном уравнении системы;

n_y – число эндогенных переменных в данном уравнении.

Если 1+n_x<n_y, уравнение неидентифицируемо;

1+n_x>n_y, то уравнение сверхидентифицируемо.