Пример 3.

Система:

(7.1.33)

будет неидентифицируемой, поскольку в первом уравнении присутствуют все переменные системы:

n_x=0, n_y=2 и 1+n_x= 1 < n_y=2.

Ранговое условие идентифицируемости (достаточное):

Для разрешимости системы структурных уравнений достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из коэффициентов эндогенных и экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях системы, был не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного, а определитель этой же матрицы не был равен нулю.

Пример.

Имеется система структурных уравнений:

(7.1.34)

Проверим ее на идентификацию

Первое уравнение. Необходимое (счетное) условие: n_x=2 (отсутствуют х₂, х₃), n_y=3, 1+n_x=n_y – уравнение идентифицируемо.

Составим матрицу коэффициентов при отсутствующих переменных (y₃ и х₃):

Определитель матрицы коэффициентов равен нулю, ранг матрицы равен единице, он меньше числа экзогенных переменных в системе без одного (3-1=2). Достаточное условие не выполняется, уравнение нельзя признать идентифицируемым по ранговому правилу.

Для второго уравнения выполняются необходимое и достаточное условия идентификации.

Счетное правило: n_x=1 (отсутствует х₁), n_y=2, 1+n_x=n_y – уравнение идентифицируемо.

Матрица коэффициентов:

Определитель матрицы не равен нулю. Ранг матрицы равен двум, он равен числу экзогенных переменных в системе без одного (3-1=2). Итак, второе уравнение системы точно идентифицируемо.

Для третьего уравнения выполняется необходимое условие:

n_x=2 (отсутствуют х₂ и х₃), n_y=3, 1+n_x= n_y.

Матрица коэффициентов:

Определитель матрицы равен нулю. Ранг матрицы равен единице, он меньше числа экзогенных переменных в системе без одного (3-1=2). Итак, третье уравнение системы неидентифицируемо по ранговому правилу.

Наша система идентифицируема по счетному правилу (необходимое условие идентификации), но ее нельзя признать идентифицируемой по достаточному условию (ранговое правило не выполняется для первого и третьего уравнений системы).

Оценить параметры можно только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых систем. Для однозначно идентифицируемых систем применяется косвенный метод наименьших квадратов. Найти параметры сверхидентифицируемой системы позволяет двухшаговый метод наименьших квадратов.

Использование систем одновременных эконометрические уравнений позволяет строить более реалистичные модели, поскольку отражают взаимосвязи между экономическими переменными. Одна и та же экономическая переменная может рассматриваться и как факторная и как результативная. Использование систем совместных уравнений позволяет решать проблемы, связанные с мультиколлинеарностью факторов в уравнениях множественной регрессии.

При оценке параметров системы одновременных уравнений исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Точно идентифицируемые системы могут оцениваться косвенным методом наименьших квадратов.

Наиболее широко системы эконометрических уравнений используются для построения макроэкономических моделей функционирования той или иной страны. Большинство из них представляют собой мультипликаторные модели кейнсианского типа с той ил иной мерой сложности.

Пример: статистическая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в простом варианте имеет следующий вид:

где С – личное потребление в постоянных ценах,

у – национальный доход в постоянных ценах;

I – инвестиции;

- случайная величина