Упражнение 3.9.

Решение. 2) 0.25, 3) 0.

Упражнение 3.10. Из определения 3.10 следует , что если , то уравнение горизонтальной асимптоты будет иметь вид .

Горизонтальными асимптотами данных функций являются прямые (доказать)

.

Упражнение 3.10. Из определения 3.11 следует, что если в точке левый или правый пределы функции обращаются в бесконечность, то вертикальная прямая будет вертикальной асимптотой.

Вертикальными асимптотами являются вертикальные прямые линии (доказать)

4) Очевидно, что вертикальная асимптота может проходить только через точку

. Исследуем эту точку

отсюда из определения 3.11 получаем, что прямая будет вертикальной

асимптотой.

Непрерывность функций. Ответы.

Упражнение 4.3.

Ответы.

3) Решение. Функция элементарная (см. определение 1.10). Из теоремы 4.6 следует, что она непрерывна в области своего задания . Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому

= . Ответ ;

4) Данная функция является элементарной функцией . Каждая элементарная функция непрерывна в области своего задания . Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому = .Ответ ;

5) Функция элементарная, поэтому непрерывна в области своего задания . определяется из условия, что подкоренное выражение должно быть положительно. . Ответ ;

Ответ 6) .

Упражнение 4.4.

Решение. На каждом из интервалов данная функция непрерывна, как элементарная. Но при переходе аргумента функции из интервала в интервал формула функции меняется. Поэтому пограничная точка , и только она является подозрительной на разрыв.

По определению (см. формулу (4.5)), функция в точке будет непрерывной, если выполнены условия непрерывности

.

Значение функции в точке вычисляется по формуле . Левое предельное значение в точке равно

. Правое предельное значение в точке равно

. По условию непрерывности функции в точке должны выполняться равенства . Откуда .

Функция непрерывна всюду в .