Производная функции, ее геометрический смысл.

Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Производные

Основных элементарных функций. Таблица производных.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

у

f(x)

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)