Дайте определение и приведите основные соотношения для моделирования систем массового обслуживания с отказами.

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

В СМО с отказами заявка, поступившая в систему в момент времени, когда свободен хотя бы один канал, обслуживается немедленно. Если же все каналы заняты, то поступившая заявка получает отказ.

Рассмотрим два вида СМО с отказами: одноканальную и многоканальную.

1) Одноканальная СМО с отказами.

Система имеет два состояния: S₀ – канал свободен и S₁ – канал занят. Переход из S₀ в S₁ связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S₁ в S₀ осуществляется, как только обслуживание завершится.

Обозначим вероятности состояний: P₀(t) – вероятность состояния S₀; P₁(t) – вероятность состояния S₁.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

По истечении большого интервала времени (при t→ ) достигается стационарный режим:

Поскольку P₀(t) – вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших (относительная пропускная способность системы Q) также равно P₀(t), т. е.

Абсолютная пропускная способность (А) – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния S₁:

2) Многоканальная СМО с отказами.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n заявок. Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/µ.

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – занят один канал, остальные свободны;

…

S_k – заняты k каналов, остальные свободны;

…

S_n – заняты все n каналов.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Стационарное решение системы имеет вид:

где , k=0, 1, 2, …, n.

Вероятность отказа:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число каналов, занятых обслуживанием: