Кривые первого порядка в декартовой прямоугольной системе координат определяются уравнением

Глава III

Кривые и поверхности второго порядка

Кривые на плоскости

Кривые первого порядка в декартовой прямоугольной системе координат определяются уравнением

,

а кривые второго порядка – уравнением

.

Кривые первого порядка – прямые. К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола.

1. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть постоянная величина (рис.6).

		Рис.6.

Каноническое уравнение эллипса:

,

где – большая, – малая полуоси, О – центр эллипса.

Точки и , где называются фокусами эллипса. Числа и – фокальными радиусами точки М, принадлежащей эллипсу. В частном случае фокусы F₁ и F₂ совпадают с центром, а каноническое уравнение описывает окружность радиуса R с центром в начале координат.

Число называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости»: при эллипс является окружностью.

2. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть постоянная величина (рис.7).

Каноническое уравнение гиперболы:

,

где – действительная, – мнимая полуоси, О – центр гиперболы.

Прямые являются асимптотами гиперболы.

Точки и , где называются фокусами гиперболы. Числа и – фокальными радиусами точки М, принадлежащей гиперболе.

Число называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости».

3. Парабола.Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в той же плоскости (рис.8).

Каноническое уравнение параболы:

.

Число р называется параметром параболы, О – вершина параболы, а ось ОХ – ось параболы.

Точка называется фокусом параболы, а число – фокальным радиусом точки М параболы.

Прямая , перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии от вершины параболы, называется ее директрисой.