Метод простої ітерації

Замінимо рівняння рівносильним рівнянням . Нехай - корінь цього рівняння, а - одержане будь-яким способом початковим наближенням до кореня . Підставляючи у праву частину рівняння, одержимо деяке число . Зробимо те ж саме з , одержимо і так далі. Використовуючи крок за кроком співвідношення для одержуємо числову послідовність , ,…, _,…., яку називають ітераційною послідовністю.

Ітераційна послідовність може бути як збіжною, так і розбіжною.

Теорема збіжності ітераційної послідовності. Нехай рівняння має єдиний корінь на відрізку і виконані умови:

1) визначена і диференційована на ;

2) для всіх ;

3) існує таке дійсне , що для всіх .

Тоді ітераційна послідовність , збігається при будь-якому початковому наближенні .

Перетворення рівняння до ітераційного вигляду

Рівняння може бути приведено до ітераційного вигляду різними способами, проте необхідно зробити так, щоб для функції виконувались умови теореми збіжності.

З цією метою рівняння подамо у вигляді , де стала . Тоді позначимо Диференціюючи, отримуємо . Для виконання умови 3 теореми збіжності потрібно . А для цього досить підібрати сталу так, щоб для фіксованого виконувалося Підставимо це значення у рівняння і отримуємо схему збіжного ітераційного процесу.

Таблиця 1

№ п/п	Рівняння	Обмеження	№ п/п	Рівняння	Обмеження
1.			31.
2.			32.
3.		при	33.
4.		при	34.
5.		при	35.
6.			36.
7.			37.
8.			38.
9.			39.
10.			40.
11.			41.
12.			42.
13.			43.
14.			44.
15.			45.
16.			46.
17.			47.
18.		на	48.
19.			49.
20.			50.
21.			51.
22.			52.
23.			53.
24.			54.
25.			55.
26.			56.
27.			57.
28.			58.
29.			59.
30.			60.

Контрольні запитання

1. Які існують методи відокремлення коренів та їх уточнення?

2. Як зробити оцінку вибору функції?

3. В чому полягає суть методів простих ітерацій, Ньютона, бісекцій та їх геометрична інтерпретація?

4. Поясніть схему алгоритму та програму відшукання коренів нелінійних рівнянь методами простих ітерацій, Ньютона, бісекцій.