Случайная погрешность

Случайная погрешность – составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины.

Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов: толчков, воздушных течений, пылинок и т. д. Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств. Основной способ уменьшения случайных погрешностей – многократные равноточные измерения одной и той же физической величины.

Равноточныеизмерения являются вероятностным выражениям понятия одинаковой точности всех результатов …, x_n измерений определённой величины. Ряд измерений какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений, в одних и тех же условиях, с одинаковой тщательностью называются равноточными.

Если изменяющуюся во времени величину измеряют одновременно несколькими средствами измерений, различающимися по точности и в разных условиях, то такие измерения называются неравноточными.

Итак, случайные погрешности обнаруживают при проведении ряда измерений одной и той же величины. Результаты измерений при этом, как правило, не совпадают между собой, так как из-за суммарного воздействия множества различных факторов, не поддающихся учету, каждое новое измерение дает и новое случайное значение измеряемой величины. При правильном проведении измерений, исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы значений, полученных при этих измерениях. Оно остается неизвестным до тех пор, пока не определено теоретически вероятное значение случайной погрешности.

Рассмотрим методику оценки случайной погрешности.

Предположим, что величину Х измеряли п раз и наблюдали при этом значения результатов прямых измерений: x₂, … x_i, … x_n._.

В теории вероятности доказывается, что истинное значение измеряемой величины (при отсутствии систематических погрешностей) равно ее среднему значению, получаемому при бесконечно большом числе измерений.

Поэтому наиболее близким к истинному значению для данной серии измерений будет среднее арифметическое значение, а именно:

, (4.3)

где M[x] – математическое ожидание случайной величины;

– среднее арифметическое значение результатов измерений;

x_i – результат i-того измерения;

п – число измерений.

Отклонения измеренных значений x_i от носят слу­чайный характер и называются абсолютными ошибками отдельных намерений:

Dx_i = x_i – , (4.4)

В элементарной теории ошибок, разработанной Гауссом, мерой оценки случайной погрешности отдельного измерения является средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений (средняя квадратическая погрешность), вычисляемая по формуле

s = S(х) = , (4.5)

где s = S(x) – средняя квадратическая погрешность отдельного измерения.

Средняя квадратическая погрешность отдельного из­мерения S(x) применяется лишь для оценки точности применяемого способа (метода) измерений. Для определения погреш­ности результата всей серии измерений надо найти среднюю квадратическую погрешность результата измерений среднего арифметического, характеризующую отклонение среднего арифметического значения от истинного значения искомой величины. Из закона сложения ошибок вытекает, что сред­няя квадратическая погрешность среднего арифметического равна

s = S( ) = , (4.6)

где s = S(x) – средняя квадратическая погрешность среднего арифметического результата измерений.

Отсюда следует, что чем больше проделано измерений одной и той же величины, тем меньше случайная погрешность результата, т. е. чем больше число опытов, тем ближе среднеарифметическое значение к истинному.

Это не означает, что истинное значение измеря­емой величины обязательно будет заключено в интервале Dx. Даже при очень большом числе измерений вероятность того, что истинное значение попадет в указанный интервал, не превышает 0,7. Другими словами, надежность полученного резуль­тата в данном случае составляет около 70 %. При малом числе измерений (n < 10) она будет еще меньше.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадет в заданный интервал, называется доверитель­ной вероятностью, или коэффициентом доверия Р, а соответствующий интервал, определяемый величиной абсолютной погреш­ности – доверительным интервалом. Достоверность результата при данном количестве измерений можно увеличить, уменьшая его точность, т. е. расширяя доверительный интервал.

Случайную погрешность рассчитывают по формуле

ε = t_pn S( ), (4.7)

где ε – доверительные границы случайной погрешности результата измерения;

t_pn – коэффициент Стьюдента, определяемый по заданным значениям доверительной вероятнос­ти Р и числу из­мерений п.

Таким образом, для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа: саму погрешность и доверительную вероятность, позво­ляющую оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень надежности определяется спецификой производимых измерений. Доверительная вероятность должна быть, например, очень высокой при контроле размеров дета­лей самолетов и достаточно низкой при аналогичном контроле деталей ручной тележки. При большинстве обычных измерений можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95, если не требуется более высокая степень надежности. Вероятность определяется законом распределения погрешностей. Для нормального закона распределения значение доверительной вероятности можно определять по таблицам. Так, средней квадратической погрешности (ошибке) s соответствует значение доверительной вероятности 0,683; ошибке 2s –0,954; ошибке Зs – 0,997. Погрешность, равную 3s, принято называть наибольшей возможной погрешностью ряда измерений, предельной погрешностью или максимальной ошибкой.

Вывод: случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений. Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики (закон распределения, закон математического ожидания, средняя квадратическая погрешность (или СКО), доверительная вероятность и доверительный интервал.