Cent; Операции над множествами

Если имеются два (или более) множества, то на основе их можно получить новые множества при помощи операций (отношений) над ними. Геометрически, для наглядного представления, данные отношения можно представить при помощи кругов, которые один из первых использовал для решения задач Г.Лейбниц, затем развил их применение Леонард Эйлер и особенного расцвета достигшие в сочинениях английского логика Джона Венна, поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера-Венна.

Диаграммы используются в математике, логике, менеджменте, особое применение они нашли в современной логико-математической теории «формальных нейронных сетей».

На Диаграммах Эйлера-Венна универсальное множество U изображается в виде прямоугольника, его подмножества – в виде кругов (реже прямоугольников), а элементы принадлежащие данным подмножествам в виде точек (см. Рисунок 2).

Рисунок 2. Пример диаграммы Эйлера-Венна

Рассмотрим операции над множествами, некоторые из которых (объединение и пересечение) аналогичны операциям сложения и умножения целых чисел.

Операции пересечение и объединение множеств выполняются для любой пары множеств. Операция дополнение имеет смысл для тех множеств, когда второе является подмножеством первого.

Следует провести аналогию между логическими операциями и операциями над множествами.

Высказывание	Множество
(конъюнкция)	Пересечение
(дизъюнкция)	Объединение
(импликация)	Разность
(отрицание)	( дополнение)
тавтология	(универсальное множество)
противоречие	Ø (пустое множество)

Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств. Например, , – формулы алгебры множеств.