Определение устойчивости САР по критерию Гурвица

Чтобы определить устойчивость САР по критерию Гурвица, необходимо вначале найти характеристическое уравнение замкнутой САР. Характеристическое уравнение – этознаменатель общей передаточной функции замкнутой САР W_зам(р), приравненный к нулю, то есть:

Определитель Гурвица для характеристического уравнения четвертой степени составляется следующим образом. По главной диагонали определителя в порядке возрастания индексов располагаются коэффициенты от а₁ до а₄. Вверх от главной диагонали в столбцах записываются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а вниз от главной диагонали – с убывающими индексами. На месте коэффициентов, индексы которых больше 4, и меньше, чем нуль, проставляются нули.

Составляем определитель из коэффициентов характеристического уравнения:

Для САР четвертой степени необходимо вычислить определители Гурвица второго и третьего порядков

По критерию Гурвица система устойчива только тогда, когда все коэффициенты а_i характеристического уравнения и все определители Гурвица D_п до n−1 порядка, где n − наибольшая степень характеристического уравнения, больше нуля.

Вывод:Так как определитель Гурвица D₃ отрицательный, то согласно критерию Гурвица рассматриваемая САР неустойчива.

САР можно сделать устойчивой, если изменить коэффициенты характеристического уравнения. Для этого приравняем к нулю уравнение (1) и возьмем за неизвестное, например, коэффициент а₄.

Найдем из уравнения (1) этот коэффициент.

21(46·85 – 2·21) – а₄·46² = 0

а₄ = 81228/2116 = 38,39.

Если теперь выбрать вместо бывшего коэффициента а₄=64 новое меньшее, чем 38,39 значение, например, а₄=36, то определитель Δ₃будет больше нуля и САР станет устойчивой, то есть

Δ₃ = 21·(46·85 – 2·21) – 36·46² = 81228 – 76176 = 5052 > 0.