Зачем нужна математика студентам гуманитарных направлений

В.А. Кузнецова

Л.Б. Медведева

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГУМАНИТАРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ

(краткая теория и сборник задач)

Учебное пособие

Ярославль, 2011

Содержание

Введение. Зачем нужна математика студентам гуманитарных направлений .....

1. Элементы теории множеств………..……………………………………..

1.1. Понятие множества. Равные множества…………………………………

Операции над множествами, их свойства.

1.2.Конечные множества. Элементы комбинаторики…………

1.3.Числа и операции над ними. Системы счисления………………………

1.4.Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества………

1.5.Задачи на проценты………………………………………………

2.Элементы математической логики…………………………………….

2.1. Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры высказываний…………………………………..………

2.2.Некоторые приложения алгебры высказываний……………………

2.3.Предикаты……………………………………………….

Элементы математического анализа

3.1.Функции, их основные свойства

3.2.Предел функции

3.3.Производная функции и некоторые ее применения

3.4.Интегральное исчисление функции одной переменной:

неопределенный интеграл и определенный интеграл.

Некоторые вопросы алгебры

4.1.Матрицы и определители

4.2.Матричная алгебра в решении задач с экономическим содержанием

4.3.Приложение матриц в теории игр

4.4.Системы линейных уравнений

5. Элементы теории вероятностей……………………………………….

5.1.Различные определения вероятности случайного события ……………

5.2.Алгебра событий. Вероятности суммы и пересечения событий………

5.3.Полная группа событий. Формула полной вероятности ………………

5.4.Случайные величины……………………………………………………

6. Элементы математической статистики ………………………………..

6.1.Вариационные ряды и их графическая интерпретация……………………

6.2.Количественные характеристики вариационного ряда……………………

6.3.Понятие оценки параметров……………………………………………........

6.4.Интервальные оценки. Доверительный интервал …………………………

6.5.Метод наименьших квадратов……………………………………………….

Аксиоматический метод построения математических теорий

Применение математического моделирования к решению

отдельных задач………...

8.1. Задача линейного программирования

8.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

8.3. Линейная модель обмена (модель международной торговли)

8.4. Задачи из теории массового обслуживания

Ответы, решения, указания…………………………………………….

10. Литература………………………………………………………………..

11. Приложения………………………………………………………………

Введение.

Зачем нужна математика студентам гуманитарных направлений

В настоящее время на многих гуманитарных факультетах российских университетов изучается математика. Отвечая на вопрос студента-гуманитария «Зачем ему нужна математика», хочется отметить следующее.

1. Математика является частью общечеловеческой культуры, такой же неотъемлемой и важной, как право, медицина, естествознание и многое другое.

Ученые, создававшие математику, рассматривали ее как составную часть философии, которая служила средством познания мира. Накопление математических фактов, которое около двух с половиной тысяч лет тому назад привело к возникновению математики как науки, шло на протяжении нескольких тысячелетий.

Термины “гуманитарные науки” и “гуманитарное образование” в их нынешнем понимании появились лишь во второй половине X1X века. До этого слово “гуманитарный” употреблялось таким образом, что и образование, и культура в целом оказывались гуманитарными, а центральным стержнем их была математика.

Начало образованию было положено в Древней Греции. Здесь около V1 века до нашей эры была введена пайдейа – курс обучения, предназначенный для подготовки юных граждан к активному участию в жизни общества. Пайдейа включала в себя арифметику, геометрию, астрономию, музыку и то, что делает возможным обучение всему этому, – диалектику, состоящую из грамматики, риторики и логики. Перечисленные дисциплины греки называли свободными искусствами. Именно под этим названием, переведенным на латынь (artes liberales), пайдейа вошла в средневековые университеты в качестве первой ступени обучения. А в Риме заимствованная у греков пайдейа называлась по латыни humanitas.

Ни греческое слово, ни латинское слово не были специально придуманы для обозначения вводимой системы образования. Как и раньше, они обозначали, соответственно, духовность, культуру (первое) и природу человека (второе). А свободные искусства понимались как занятия, делающие человека свободным, т.е. способным подчинять свои желания голосу разума. Таким образом, образование с самого своего зарождения отождествлялось с духовностью, культурой и природой человека и предназначалось для приобретения человеком способности руководствоваться разумом в убеждениях и помыслах. В этом смысле все образование было гуманитарным, и главную роль в нем играла математика.

Термин “гуманитарные науки” появился в XV веке, когда появилось название studia humanitatis.Этим термином итальянские гуманисты XV века пользовались, чтобы отличить учения, которые они считали существенно человеческими, от божественных (studia divinae).”Свободные искусства” в полном составе входят в “человеческие учения”, математика тоже. Более того, крупнейшие гуманисты Возрождения Альберти (1404 – 1472) и Витторио (1378 – 1446) особо подчеркивали роль математики в образовании. Альберти приходит к выводу, что математика является ключом ко всем наукам, а Витторио говорит, что математика является центральным стержнем его гуманистической образовательной программы. Таким образом, и в средние века, и в эпоху Возрождения все образование продолжало оставаться гуманитарным, но центральным стержнем его была математика. В таком виде образование просуществовало примерно до X1X века. Размежевание гуманитарного и негуманитарного знания произошло во второй половине X1X века, причем усилиями представителей тех наук, которые называются теперь гуманитарными.

Поскольку основу гуманитарного образования современного человека составляют все лучшие достижения человеческой мысли, а математика способствует выработке научного мировоззрения, достижению необходимого общекультурного уровня, то математика для студента-гуманитария необходима, во-первых, как общеобразовательная дисциплина, как, например, экономика для студента-математика.

2. Место математики в жизни и в науке определяется тем, что она позволяет перевести «общежитейские», интуитивные подходы к действительности, основанные на чисто качественных (а значит, приблизительных) описаниях, на язык точных определений и формул, из которых можно сделать количественные выводы.

Конечно, для рационального поведения в обществе не требуется высокого уровня математических знаний, но важно то, что математика во многом развивает умение правильно рассуждать, понимать получаемую информацию, обрабатывать ее и делать правильные прогнозы. В сущности речь идет о формировании интеллекта.

Под влиянием математики многие отрасли науки поднялись на качественно новый уровень исследования, связанный с изучением более глубоких внутренних механизмов процессов и законов, управляющих явлениями. И главная причина этого кроется в том, что математика позволяет строить весьма общие и достаточно точные модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых, предлагаемых другими науками.

Поэтому, знакомясь с математическими методами и сферами их применения, будущий гуманитарий расширяет свои профессиональные возможности.

3. Математические рассуждения позволяют правильно устанавливать причинно-следственные связи. Общностью и абстрактностью своих конструкций математика способствует упорядочению ума, учит точно формулировать разного рода правила, предписания, инструкции и строго их исполнять. “Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит”.

Отсутствие элементарной математической культуры и неумение мыслить может сыграть негативную роль во многих сферах деятельности гуманитариев, требующих умения анализировать информацию, вычленять сущность вопроса, владеть логикой рассуждений, обобщать статистический материал, правильно интерпретировать политическую ситуацию и т.д. Формируя дисциплину мышления, математика, по мнению В.А. Успенского, развивает три важнейшие умения: умение отличать истину от лжи, смысл от бессмыслицы, понятное от непонятного [30]. Любой специалист должен уметь рассуждать логически и применять на практике индуктивный и дедуктивный методы. Поэтому каждый студент, занимаясь математикой, формирует свое профессиональное мышление и приобретает мыслительные навыки, которые составляют необходимое условие для достижения профессиональных успехов.

Подводя итог, следует сказать, что математическое образование гуманитариев важно с различных точек зрения [5, с.44]:

логической – изучение математики является источником и средством активного интеллектуального развития человека, его умственных способностей;

познавательной – с помощью математики познается окружающий мир, его пространственные и количественные отношения;

прикладной – математика является той базой, которая обеспечивает готовность человека не только к творческой работе в своей профессиональной области, но и к овладению другими профессиями, делает для него доступным непрерывное образование и самообразование;

исторической – на примерах из истории развития математики прослеживается развитие не только ее самой, но и человеческой культуры в целом;

философской – математика помогает осмыслить мир, в котором мы живем, сформировать у человека научные представления о реальном физическом пространстве.

Данное учебное пособие написано в поддержку курсов математики, которые читаются на различных гуманитарных факультетах. Содержание курса математики на каждом гуманитарном направлении имеет свои особенности, обусловленные спецификой будущей деятельности выпускников. Но поскольку пособие предназначено для гуманитариев разных профилей, то его содержание охватывает многие вопросы математики. В книге отражены следующие разделы: «Элементы теории множеств», «Элементы математической логики» с приложениями, «Теория вероятностей», включая изучение случайных величин, « Некоторые вопросы алгебры», « Элементы математического анализа», «Элементы математической статистики», «Аксиоматический метод построения теорий», «Вопросы математического моделирования».

Не все из этих разделов могут оказаться необходимыми на том или ином факультете. Тем не менее, пособие полностью обеспечивает задачным материалом указанные выше разделы курса математики. Оно содержит набор упражнений и задач в количестве, достаточном для использования не только на практических занятиях и задания домашних работ, в том числе и индивидуальных, но и организации самостоятельной работы студентов.

Разные группы задач преследуют разные цели, поэтому часть задач в пособии приводится с решениями, часть снабжена ответами, но есть и задачи, которые включены в него без ответов и без каких-либо указаний к решению. Кроме того, предусмотрены задачи разного уровня сложности, поэтому студенты с различной математической подготовкой найдут здесь задачи по своим силам и интересам.

Перед каждой темой представлен необходимый для решения задач теоретический материал. Поэтому данное учебное пособие не является только лишь задачником, а в первом приближении для гуманитариев может быть использовано и в качестве учебника.

В конце пособия приводится список литературы, который позволит студентам, интересующимся математикой, расширить и углубить свои знания предмета, познакомиться с приложениями математики в различных сферах деятельности.