Целые и рациональные числа

Расширение множества натуральных чисел проходило в двух направлениях. Во-первых, в рассмотрение были введены целые отрицательные числа: ^- = и число 0.

Множество натуральных чисел, множество целых отрицательных чисел, а также число 0 составляют множество целых чисел .

Множество целых чисел уже замкнуто относительно трех операций: сложения, вычитания и умножения, но незамкнуто относительно операции, обратной умножению, – операции деления. Чтобы сделать выполнимой и операцию деления множество целых чисел расширяют, вводя в рассмотрение дроби – части единиц измерения, из которых единицы измерения могут быть составлены, а также совокупности этих частей. К необходимости учитывать такие части соответствующих единиц измерения приводили также задачи измерения пространственных, временных, физических и других величин.

С точки зрения арифметики такое расширение целых чисел делает действие деления выполнимым для любых чисел, кроме деления на 0. Появляется множество рациональных чисел .

Рациональными числами назовем сначала пары взаимно простых целых чисел и , где q 1, записываемые в виде (черта играет пока роль разделительного знака).

В случае q=1 выражение , где черта – знак деления, означает целое число p, являющееся частным от деления на 1. Таким образом, целые числа представляются как частный случай чисел рациональных. Если >1 и и взаимно просты, то в области целых чисел число не делится на число q. Все рациональные числа , где >1, оказываются новыми числами, не содержащимися в .

Заметим, что, введя черту для обозначения действия деления, множество Q можно рассматривать как множество всевозможных выражений , где , b , b , а черта означает знак деления. Выражения указанного вида называют обыкновенными дробями. Следует иметь в виду, что различные по виду обыкновенные дроби могут задавать одно и тоже рациональное число, а именно: дроби и задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда . Иначе, = тогда и только тогда, когда . Сказанное позволяет определить рациональное число по-новому. Рациональное число - это класс равных между собой обыкновенных дробей. В каждом таком классе есть единственная несократимая дробь с положительным знаменателем. Можно считать, что весь класс задается именно такой дробью. Однако, следует понимать, что любая обыкновенная дробь однозначно определяет целый класс равных дробей, то есть некоторое рациональное число.