Найдите взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на отрезок [а, b].

154.Постройте взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на интервал (0, 1).

Решение. Выделим на интервале (0, 1) какую-либо последовательность попарно различных точек, например: х₁ = , х₂ = , …, х_n = , … . Установим следующее соответствие: точке 0 отрезка [0, 1] ставим в соответствие точку х₁ интервала (0, 1), точке 1 Î [0, 1] – точку х₂ Î (0, 1), точке х₁ = Î [0, 1] – точку х₃ = , и вообще, точке х_n Î [0, 1] – точку х_{n + 2} , то есть точке ставим в соответствие точку . Любую другую точку х Î [0, 1], не задаваемую числом вида , отображаем на интервал в точку, задаваемую тем же числом, что и отображаемая точка. Полученное соответствие, очевидно, является биективным.

155. Постройте биективное отображение окружности единичного радиуса на: а) промежуток [0, 2p); б) на отрезок [0, 1].

156.Постройте какую-нибудь биекцию между следующими отрезками: 1) , ; 2) [A, B], [C, D].

157.Определите, каким множеством (конечным, счетным или множеством мощности континуум) является каждое из следующих множеств. Ответ обоснуйте.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) A=Q;6) ;

7) ; 8) ;

9) .

10) Множество всех непересекающихся окружностей на плоскости;

11) Множество всех иррациональных чисел;

12) Множество всех точек отрезка ;

13) Множество всех десятичных дробей;

14) Множество всех вещественных чисел, заключённых между 0 и 1, в десятичной записи которых имеется цифра 7;

15) Множество всех рациональных чисел отрезка ;

16) Множество всех пар натуральных чисел;

17) Множество всех пар рациональных чисел;

18) Множество всех точек графика функции: а) , б) ;

19) Множество всех точек квадрата;

20) Множество всех точек плоскости, лежащих на осях координат;

21) Множество всех чисел вида где