Десятичные дроби и рациональные числа.

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, называются десятичными дробями. Записываются эти дроби особым образом:

; 1 ; 3 .

Чтобы обратить обыкновенную дробь, знаменатель которой отличен от степени десяти, в десятичную, надо ее числитель разделить на знаменатель «уголком». В результате деления получим или конечную десятичную дробь, или бесконечную, в которой имеется некоторый набор повторяющихся цифр – период:

; ; , ;

=3,142857142857142857… .

Набор повторяющихся цифр в записи бесконечной десятичной дроби называется периодом дроби, а сама дробь называется бесконечной периодической дробью. При записи периодической дроби период заключается в скобки: 0,181818…= 0,(18); 0,333… = 0,(3); 3,142857142857142857…=

3,( 142857).

Заметим, что конечная десятичная дробь может рассматриваться как бесконечная десятичная периодическая дробь с периодом, состоящим из 0.

Можно доказать, что любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная десятичная периодическая дробь является записью некоторой обыкновенной дроби, то есть некоторого рационального числа.

Посмотрим, как по данной десятичной периодической дроби найти обыкновенную дробь, которая представлена данной десятичной.

1. Пусть а = 0, 777…. Умножим это равенство на 10 и получим

10 = 7, 777…, то есть 10 = 7+ . Отсюда .

2. Пусть а = 0,(18). Умножим это равенство на 100, получим

Это означает, что 100 . Отсюда имеем .

Задачи

122. Вычислите: а) ( ) ;

б) ;

в) ;

г) .

123. Следующие рациональные числа запишите в виде десятичных дробей: . 124. Каким из следующих множеств принадлежит число : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;5) ;6) ; 7) ; 8) [-1; 6]; 9) [- 9]; 10) [ 0; ); 11) [ - 6; - ].

125.Содержит ли множество число:

1) ; 2) –1; 3)7; 4) ; 5) –12; 6)19; 7) ; 8) ?

126. Пусть , , . Найдите множества:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

127. Пусть , , . Найдите множества: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

128. По данной десятичной периодической дроби найдите обыкновенную дробь, которая представлена данной десятичной: 1) 0,(2); 2) 0, (23); 3) 1,(7); 4) 3,5(72); 5) 0,3(8); 6) 5,26(5).

129. Вычислите:

1) 0,(2) + 0,(3); 2) 0,(2) + 0,(37); 3) 0,(73) - 0,4(87).

4) ; 5) ;

6) .

130. Покажите, что при обращении в обыкновенную бесконечной периодической дроби вида ,( ), где , , …, - цифры, а - число, записанное этими цифрами, получается следующий результат

,( ) = + .

131. Покажите, что при обращении в обыкновенную смешанной бесконечной периодической дроби справедлива следующая формула:

,

где цифра 9 повторяется столько раз , сколько цифр в периоде, а 0 столько раз, сколько цифр после запятой до периода.

132. Укажите, какие из первых пятнадцати натуральных чисел являются простыми, а какие – составными.

133. Представьте следующие числа в виде произведения простых множителей: 1375, 9009, 1124.