Действительные числа

Со времен древних греков известна задача измерения длины диагонали квадрата, сторона которого равна 1. Еще тогда было обнаружено, что никакая доля единицы, как бы мала она ни была, не укладывается на диагонали целое число раз. Это означало, что рациональных чисел для измерения длин отрезков не хватает. Возникло понятие соизмеримых и несоизмеримых отрезков, то есть отрезков, которым при заданной единице измерения можно поставить в соответствие число – длину, и отрезков, которым такого числа поставить в соответствие нельзя. Естественно, что опять появилась необходимость расширить множество рациональных чисел. Расширение указанного множества было необходимо также и для выполнимости операции извлечения корня любой степени из рационального числа.

Можно доказать, что число , определяющее длину квадрата со стороной длины 1, не является числом рациональным; оно представляется десятичной бесконечной непериодической дробью.

Числа, представляющие собой десятичные бесконечные непериодические дроби, называются иррациональными.

Примерами иррациональных чисел являются: = 1, 414213562373..., = 1, 7320508…, = 3, 74165738…, число p =3,1415926535…, равное отношению длины окружности к ее диаметру, число е = 2,718281828459… .

Число p известно с глубокой древности. Вавилонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные приближенные значения этого числа: 3, 4× , , , , и другие. Рассматривая вписанные в окружность правильные 2n-угольники, Архимед вычислял p с большой точностью. Он, например, определил, что < p < . Лейбниц доказал, что число p можно представить в виде следующей бесконечной суммы:

- + - + - + …

Число е ( названное в честь шотландского математика 16 века Джона Непера, неперовым), также может быть представлено в виде ряда:

Используя ЭВМ и представление чисел p и е рядами, можно подсчитать их с любой точностью. Следует также сказать, что p и е относятся к так называемым трансцендентным числам – числам, которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных (вещественных) чисел. Это множество замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Однако оно незамкнуто относительно операции извлечения корня, так как не из всякого действительного числа можно извлечь корень четной степени, например, как известно, нельзя извлечь квадратный корень из числа –2. Чтобы и эта операция была выполнимой, множество действительных чисел расширяют, добавляя к ним новые числа – комплексные числа. Но о них мы здесь говорить не будем.

Важным свойством множества действительных чисел является его упорядоченность. Это свойство означает, что любые два действительных числа можно сравнить между собой, то есть указать, какое из них больше или меньше. Для сравнения нужно последовательно сравнивать цифры, стоящие на одинаковых позициях в записи этих чисел. Например, 2,381615…> 2,381529…., так как на первых четырех позициях соответствующие цифры одинаковы, а 6 > 5. Описанное правило сравнения работает при одном соглашении: не рассматривать периодические десятичные дроби с периодом 9. Это возможно, так как всякую бесконечную периодическую дробь с периодом 9 можно заменить равной ей конечной десятичной дробью.

Задачи

134. Докажите, что следующие числа являются иррациональными: а) б) , в) , г) , д) , е) - , ж) .

а) Предположим, что число – число рациональное. Тогда найдутся целые числа m и n, взаимно простые и такие, что (дробь - несократимая). После возведения равенства в квадрат получим или . Отсюда следует, что число делится на 2, а так как 2 – простое число, то и делится на 2. Это значит, что =2k. Но тогда и равенство можно записать следующим образом . Отсюда , и следовательно, , а значит, и делится на2. Таким образом получено противоречие с тем, что числа m и n взаимно простые. Противоречие указывает на то, что наше предположение о том, что число рациональное, неверно. Это число является иррациональным.

д) Допустим, что – число рациональное. Возведем это равенство в квадрат: . Выразим из получившегося равенства : = . В левой части этого равенства стоит число иррациональное – , а в правой – рациональное, так как арифметические операции возведение в степень, вычитание и деление не выводят за пределы множества рациональных чисел. Опять получили противоречие. Наше предположение неверно, и число является рациональным.

135. Может ли сумма, разность, произведение, частное двух иррациональных чисел быть числом рациональным? Если может, то привести примеры.

136. Сравните числа по величине: а) 0, 142816… и 0, 142827…; б) и ; в) и ; г) и 2,421619; д) 3, 12(41) и 3, 1229; е) -1 и - .

137. Приведите пример рационального числа, стоящего между числами и .

Позиционные системы счисления

Задачи

138. Записать в двоичной системе счисления первые 25 натуральных чисел, заполнив соответствующую таблицу

139. Следующие числа записать 1) в двоичной , 2) в семиричной, 3) в восьмиричной системах счисления: 13, 50, 26, 28, 81.

140. Переведите в десятичную систему числа, заданные в двоичной системе счисления: 10110110, 10101011, 1100111, 100011000110.

141. Переведите в десятичную систему числа, заданные в семиричной системе счисления: 441, 24621, 13642.

142. Cоставьте таблицы сложения однозначных чисел для систем счисления с основанием, равным 5, 7, 12.

143. Выполнить указанные действия:

₁₎ 23334₆ + 33020₆ + 444₆ + 12341₆ ;

2) 10010011₃ - 2210022₃;

3) 43(10)(11)5₁₂ + 3(10)6₁₂ +4(11)25_12.