Найдите все подмножества

а) множества ; б) множества .

Ответьте на следующие вопросы:

в) сколько подмножеств имеет множество, состоящее из элементов?

г) сколько подмножеств, содержащих нечетное число элементов, имеет множество, состоящее из n элементов?

6.а)Укажите виды правонарушенийпо степени общественной опасности и представьте множество правонарушений с помощью операций над выделенными подмножествами. Объединением каких подмножеств является множество проступков?

в)Опишите виды правонарушенийпо сферам общественной жизни и представьте множество всех правонарушений с помощью операций над его подмножествами еще одним способом.

7.Найдите объединение и пересечение множеств и , если:

а) , ;

б) , .

8.Найдите следующие множества , , , , если:

{1, 2, 4, 6, 9}, {3, 4, 5, 8, 9}.

9.Даны множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5, 6}. Найдите множества: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10.В терминах теории множеств объясните загадку: два отца и два сына, а всего трое — как такое может быть?

11.Пусть , . Найдите множества: , , .

12.Пусть– множество четных натуральных чисел, – множество натуральных чисел, делящихся на 3, и – множество натуральных чисел, делящихся на 5. Из каких чисел состоят множества , и ?

13.С помощью диаграмм Эйлера-Венна изобразите следующие множества:

а) , б) , в) , г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) , к) .

Решение.

На диаграммах Эйлера-Венна будем изображать требуемое множество серым цветом, а множества, помогающие придти к ответу, – светло-серым цветом.

а) Сначала покажем множество (1), тогда искомым множеством (2) будет пересечение выделенного множества и множества В.

(1) (2)

б) Искомое множество выглядит следующим образом:

в) Вначале изобразим множества (*), (**), а затем ответ

(*) (**)

14.С помощью диаграмм Эйлера-Венна изобразите следующие множества:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

15.С помощью диаграмм Эйлера – Венна изобразите следующие множества:

1. ; 17. ;

2. ; 18.

3. ; 19. ;

4. ; 20. ;

5. ; 21. ;

6. ; 22. ;

7. ; 23. ;

8. ; 24. ;

9. ; 25. ;

10. ; 26. ;

11. ; 27. ;

12. ; 28. ;

13. ; 29. ;

14. ; 30. ;

15. ; 31. ;

16. ; 32. .

16.Дано: . С помощью диаграмм Эйлера - Венна изобразите случаи, когда и

17.По данным диаграмм Эйлера-Венна определите, какое множество задано:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

18.Упростите следующие выражения:

1) ; 2) ( ;

3) ;

4) .

19.Докажите следующие тождества: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ;

ж) ; з) .

Решение.

Обозначим множество, стоящее слева от знака равенства, через , а стоящее справа от знака равенства, – через .

Для того, чтобы доказать тождество, нужно доказать, что каждый элемент множества принадлежит множеству , и наоборот.

а) Пусть произвольный элемент , тогда и . Отсюда следует, что и , . Тогда и также . Значит , то есть . Итак, мы показали, что множество включается во множество .

Покажем обратное.

Пусть , тогда и . Так как , то и . Так как и , то , но , и следовательно, , то есть . Таким образом, множество включается во множество . Из включений следует равенство .

20.Верно ли, что

а) {1, 2} Î {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

б) {1, 2} Í {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?

21.Привести примеры таких множеств , , , что

1) , и ; 2) , , ; 3) , .

22.Для каких из следующих пар множеств имеет место одно из отношений , , , , ?

1) , ; 2) ;

3) ; 4) , ;

5) ; 6) , ;

7) , ;

8) , .

23.Существуют ли множества , , , одновременно удовлетворяющие следующим условиям , , ?