Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА




Читайте также:
  1. Биологиялық жүйелерді математикалық модельдеу.
  2. Дискретная математика
  3. Дискретная математика.
  4. Есептің математиканы оқытудағы орны және міндеттері.
  5. Зачем нужна математика студентам гуманитарных направлений
  6. Математика
  7. Математика
  8. Математика
  9. Математика

Множество – совокупность предметов (объектов, называемых элементами), объединенных некоторым общим признаком (свойством). Запись А = {х / х2 – 3 х + 2 = 0} означает, что множеству А принадлежат все те элементы х, которые являются корнями уравнения х2 – 3 х + 2 = 0, т. е. числа х = 1 и х = 2.

Бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами, называется счётным.

Множество всех рациональных чисел – счётное, а множество всех действительных чисел – несчётное.

Если любой элемент множества В принадлежит также множеству А, то множество В называется подмножеством множества А и записывают В А или А В. Например, всякое натуральное число (множество N) принадлежит множеству целых чисел (множество Z), т. е. N Z.

Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т. е.справедливо утверждение А А.

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается А В.

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и В и обозначается А В.

Обозначим через m (А) число элементов конечного множества А, тогда для любых конечных множеств А и В справедливо равенство

m (А В) = m (А) + m(В) – m(А В), если пересечение множеств А и В не пусто. Когда множества А и В не пересекаются, то m(А В) = 0 и

m (А В) = m (А) + m(В).

Разностью множеств А и В (дополнением множества В до множества А) называется множество всех тех и только тех элементов из множества А, которые не содержатся в множестве В, обозначается А \ В. Например, дополнением множества целых чисел до множества всех рациональных чисел является множество всех дробных чисел.

Пример 1. Даны множества А={- 3 < х ≤ 5}, В ={1 < х < 5}. Найти количество целых х .

Решение. Объединением множеств А и В является промежуток ( -3; 5], куда входит 8 целых чисел.

Пример 2. А = {20,30,40,50}, В = {20, 25, 30, 35}, С = {30, 35, 40, 45}. Найти число элементов множества Д = ( ) \ С .

Решение. = {20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}. Множество Д = ( ) \ С содержит числа без чисел множества С, т. е. Д = {20, 25, 50}.



Пример 3. Даны множества А = {х : sin х = 0}, В = {х : 0 < х < 10}. Сколько элементов содержится в множестве А В ?

Решение. Множество А = {х : sin х = 0} = {х : х = πk, k Z}.

А В = {π; 2π; 3π}, следовательно, в нём 3 элемента.

Прямым или декартовым произведением множеств А и В называется множество упорядоченных пар (а, b), в котором а А, b В, т. е.

А × В = {(а, b) / а А и b В}.

Плоскость в выбранной прямоугольной системой координат изображает произведение множеств R×R (иногда пишут R2 ).

Пример 4.Дано множество А = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и бинарное отношение Р = {х, у / х, у А, х ≤ 3 }, причём х делит у без остатка. Найти количество элементов предиката (неопределённое высказывание – подмножество множества А)

Решение. Так как множество А состоит из 8 элементов, то декартово произведение А × А будет содержать n = 8 · 8 = 64 парных элемента. Предикат Р является подмножеством множества А × А . Нужно из 64 парных элементов выбрать только те, которые удовлетворяют условиям нашего предиката, т. е. первый элемент пары не должен быть больше 3, а второй должен делиться на первый без остатка . Тогда это предикат



Р = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (2; 8), (3; 3), (3; 6), (3; 9)}, который содержит 7 элементов. ( Ответ: 7 элементов. )

Мера плоского множестваесть площадь соответствующей фигуры

Пример1.

 

 

S = π r2 2 - π r1 2 = π (42 – 22 ) = 12π.

 

Пример 2. Найти меру плоского множества А \ В, где

А { (х, у) R2 : mах (| х |, | у | <1} и

В{ (х, у) R2 : х 2 + у 2 <1}.

 

S = площадь квадрата минус площадь круга = 4 – π.

( ответ: 4 – π )

 

Пример3. Найти меру плоского множества { (х, у) R2 : < у < 2,5 - х}. В начале находим точки пересечения линий, решая совместно систему уравнений у = и у = 2,5 – х. Имеем = 2,5 – х или 2х 2 – 5х +2 = 0.

Отсюда х1 = 2, х2 = 0,5.

S = =

2,5 (2 – 0,5) – 0,5 (4 – 0,25) – ln 2 + ln 0,5 = - ln 4.

(ответ - ln 4 )

Пример 4. Найти меру плоского множества { (х, у) R2 : х2 + у2 = 1}.

Так как множество состоит только из точек кривой – окружности, то мера данного плоского множества равна нулю. (Ответ: нуль )

Если по какому-то правилу каждому элементу х А ставится в соответствие определенный элемент у В, то такое соответствие называется отображением множества А в множество В и пишут f : А → В.

Символ f обозначает правило заданного соответствия. Это правило можно обозначать и другими символами.

Отображение, в котором различные элементы входного множества А соединяются с различными элементами выходного множества В и нет неприсоединенных элементов, называется биективным или взаимно однозначным соответствием.

Линейным отображением называется отображение φ, удовлетворяющее условиям φ (х + у) = φ (х) + φ (у); φ (λ х) = λ φ (х).



Отображение f : Х → У называется обратимым, если существует

f -1 : У → Х такое, что ff -1 = е х , f -1 f = е у , где е х , е у - тождественные отображения на множества Х и У соответственно.

Отображения (на примерах)

Пример 1. Пусть задано отображение f (х): х → (соs х; sin х ). Что представляет отображение f ([0; 2π)) ?

Решение. При х [0; 2π) функция соs х [-1; 1], sin х [-1; 1], причём соs 2 х + sin2 х = 1. Следовательно, отображение f ([0; 2π)) представляет собой окружность радиуса = 1 ( Отв. единичная окружность).

Пример 2. При отображении f (х ) = 2 tg х – 1 что является образом промежутка [0, ]?

Решение. Образом множества [0, ] при отображении f (х ) = 2 tg х – 1 являются те точки, в которые при данном отображении попадают точки отрезка [0, ].Так как [0, ] → [0, 1] (tg 0 = 0, tg = 1), то

отображение f (х )= 2 tg х –1 переводит исходный отрезок [0, ] в отрезок [-1; 1] ( Ответ: образ [-1; 1] )

Пример 3. При линейном преобразовании, заданном матрицей

А = , найти образ вектору .

Решение. Образ вектора определяется по формуле = А· =

= · = . ( ответ: )


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 7; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.017 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты