АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА

Алгебраической операцией на множестве М называется отображение

φ : М ⁿ → М ( n –й декартовой степени множества М в само множество М). Число n называется арностью алгебраической операции. При n =2 операция называется бинарной ( любым двум элементам множества М ставится в соответствие один и только один элемент множества М).

Пример 1. Алгебраической операцией является

(отв.- умножение на множестве рациональных чисел)

Пример 2. Бинарной операцией на множестве R³ является

(отв. - векторное произведение (операция над двумя векторами)

Элемент е М называется нейтральным элементом относительно бинарной операции на множестве М, если для любого m М

е*m = m = m*е.

Пример 3. Бинарной операцией на множестве R² является

(отв. -

Пример 4. Нейтральным элементом относительно объединения множеств является (отв. – пустое множество)

Группой называют некоторое множество с заданной на нём операцией, причём для любого элемента группы существует обратный элемент.

Пример 5. Группой является множество

(отв. – множество рациональных чисел без нуля с операцией умножения)

Пример 6. Группу по сложению образует множество

(отв. – множество целых чисел)

Пример 7. Подгруппой группы невырожденных матриц по умножению является подмножество матриц С

(отв. -

Пример 8. Линейным отображением пространства трехмерных векторов на пространство двумерных векторов является

(отв. - φ ( ) = (х₁ – х₂ ; 2х₃ + х₂ ) )