КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Кривизна плоской кривойКривизной К кривой в её точке М называется предел отношения «угла смежности» δ между положитель-ными направлениями касательных в точках М и N к длине дуги , когда 0. = dS, = К = . Кривизна характеризует искривленность линии в рассматриваемой точке. Радиус кривизны кривой R = . Чем больше искривлена кривая вблизи данной точки, тем больше К и меньше R. Точки, в которых кривизна кривой равна нулю, называются точками распрямления кривой. Пример. Уравнение кривой у = х 4 + 2 х 3 – 1. Имеем = 4 х 3 +6 х 2 ; = 12 х 2 +12 х. К = 0, когда числитель в формуле для кривизны кривой равен нулю, т. е. 12 х 2 +12 х = 12 х (х + 2) = 0, откуда х 1 = 0, х 2 = - 2.Тогда у 1 = 0, у 2 = - 2. Следовательно, точки распрямления данной кривой (0; -1) и (- 1; - 2). Для окружности радиуса а кривизна К = = , R = а (постоянны во всех точках); для прямой К = 0, R = ∞; для прочих кривых К меняется от точки к точке. Расчётная формула для кривизны К = .
Точки, в который кривизна кривой равна нулю, называются точками распрямления кривой. Пример 1. Найти точки распрямления кривой у = х 4 + 2 х 3 - 1. Решение. Имеем = 4 х 3 + 6 х 2 , = 12 х 2 + 12 х = 0, отсюда х 1 = 0, х 2 = -1. Соответственно у 1 = - 1, у 2 = - 2. Точки распрямления данной кривой (0; -1) и ( -1; - 2). Огибающей семейства F (х; у; z; с) = 0 называется геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнениям . Пример 2. Найти огибающую семейства х2 + у2 + (z – α)2 – 1 = 0 (семейство сфер). Решение. . Из второго уравнения z = α , а из первого имеем х2 + у2 =1. Следовательно, огибающей данного семейства является (отв. цилиндр круговой х2 + у2 =1, z = α.)
Граница множества–множество точек подпространства Атопологического пространства Х, обладающих свойством, что любая окрестность каждой из них содержит как точки А, так и точки из Х \ А. Пример 3. Границей множества М = {b} в топологическом пространстве Х = {а, b} с топологией t = {Ǿ, {а}, {а, b}} является ( отв. {b} ) Решение. Граничной точкой к множеству М называется точка, пересечение любой окрестности которой с М и с дополнением к М – не пусты. Таким образом, границей множества М = {b} в данном случае будет {b}.
|