Высказывания и операции над высказываниями.

Всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием.

Всякое высказывание либо истинно, либо ложно и не может быть одновременно истинным или ложным.

Алгеброй высказываний занимается специальная математическая дисциплина – математическая логика. В алгебре высказываний предполагается, что уже имеется некоторое множество высказываний, для каждого из которых известно истинно оно или ложно. Высказывания, входящие в это множество, называются элементарными (простыми). Элементарному высказыванию приписывают одно из двух истинностных значений – И или «единица», если оно истинно (достоверно), и Л или «нуль», если оно ложно. Из простых высказываний при помощи логических связок (союзов «и», «или»,слов «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», «если…,то…») образуются новые сложные высказывания. Истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие логические связки использованы для образования сложного высказывания, и, во-вторых, тем, какие из простых высказываний, образующих сложное, истинны и какие ложны.

Если высказывание образовано из двух высказываний при помощи союза «или», то говорят, что оно является суммой (дизъюнкцией) этих высказываний. Записывают в виде А + В или А В.

Если высказывание образовано из двух высказываний при помощи союза «и», то говорят, что оно является произведением (конъюнкцией) этих высказываний. Записывают в виде А ∙ В или А В.

Высказывание, образованное из двух высказываний при помощи союза «тогда и только тогда, когда…», «если…, о…»», называют соответственно эквивалентностью А В. или импликацией. Записывают в виде А В или А ~ В для эквивалентности, импликацию записывают в виде А В.

Истинность или ложность высказывания, образованного из каких-либо высказываний с помощью операций сложения, умножения, эквивалентности и импликации, зависит только от распределения истинности и ложности между высказываниями, над которыми производятся логические операции. Эту зависимость удобно описать следующими таблицами истинности логических операций

А	В	А В
И И Л Л	И Л И Л	И Л Л И

А	В	А В
И И Л Л	И Л И Л	И Л И И

Например,высказывание « х > 0 ». Его отрицание, т.е. равносильно « х ≤ 0 » и означает: неправда, что х положительно, а значит х ≤ 0