Точки разрыва функции
Если требования непрерывности функции в точке не выполняются, т.е. функция не определена в точке или предел функции в точке не существует, или существует, но не равен значению функции в этой точке, то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва функции.
Если функция имеет предел в точке , но он не совпадает со значением функции в этой точке или функция не определена в этой точке, то разрыв называется устранимым.
Если функция имеет в точке односторонние пределы, не равные между собой, то называется точкой разрыва первого рода. При этом – = называется скачком функции в точке .
Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечный в точке , то эта точка разрыва второго рода.
Итак, функция терпит разрыв в точке в одном из следующих случаев:
1) , но , либо не определено (рис.1); в этом случае говорят, что – точка устранимогоразрыва;
2) – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что терпит в точке скачок) (рис.2);
3) по крайней мере одного из односторонних пределов в точке не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что x0 – точка разрыва второго рода (рис.3).
Если функция непрерывна в каждой точке интервала ( , ), то она называется непрерывной на этом интервале. Если = , то функция называется непрерывной в точке слева. Аналогично при = – непрерывной в точке справа.
Если функция непрерывна в каждой точке интервала ( , ), < и в точке = она непрерывна справа, а в точке = – слева, то она называется непрерывной на отрезке [ , ].
Все основные элементарные функции непрерывны в своих областях определения. Напомним, что под основными элементарными функциями понимают следующие пять функций:
1) степенную = , Î R;
2) показательную = , > 0, ¹ 1;
3) логарифмическую = , > 0, > 0, ¹ 1;
4) тригонометрические = sin , = cos ;
5) обратные тригонометрические = arcsin , Î[–1, 1], 
|