Свойства непрерывных функций

Непрерывные функции обладают рядом важных свойств, некоторые из которых мы сформулируем. Функция непрерывная на отрезке [ , ] за исключением конечного числа точек этого отрезка, в которых она терпит разрывы первого рода, называется кусочно-непрерывной на этом отрезке. Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой оси.

ТЕОРЕМА 1. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны следующие функции:

1) с , с , с = const; 3) × ;

2) ± ; 4) , ¹ 0.

ТЕОРЕМА 2. Если функция = непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке = , то сложная функция непрерывна в точке .

Замечание. ТЕОРЕМА 2 даёт правило замены переменных при вычислении пределов непрерывных функций

= = . (3)

ТЕОРЕМА 3. Если функция = непрерывна в точке и ¹ 0, то существует окрестность , в которой функция сохраняет свой знак

Символом обозначают множество непрерывных на отрезке функций. Таким образом, запись будет означать, что функция определена и непрерывна на отрезке .

ТЕОРЕМА(первая теорема Вейерштрасса[1]). Если , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует число такое, что .

Ясно, что обратное утверждение не имеет места, так как функция ограничена на ( ), однако не является непрерывной на этом отрезке (разрыв I рода в точке ).

В том случае, когда , она может быть и неограниченной. Действительно, непрерывна на , но является неограниченной на этом промежутке.

Если функция не является непрерывной на , то ограниченности на этом отрезке может и не быть. Например, функция

определена на отрезке , однако не является ограниченной на нем.

ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса). Если , то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют такие точки , что .

ТЕОРЕМА (Больцано[2] – Коши[3]). Пусть , причем . Тогда существует точка такая, что .

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кривая на концах отрезка принимает значения разных знаков, то она пересекает ось абсцисс.

Теореме Больцано – Коши можно придать другую форму, которую часто называют теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции или второй теоремой Больцано – Коши.

ТЕОРЕМА. Пусть и , , . Тогда для любого такого, что , найдется точка такая, что .

ТЕОРЕМА. Всякая непрерывная на отрезке [ , ] функция ограничена этом отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений M = sup , m = inf и принимает на нём все промежуточные значения из отрезка [ m, M].