Паутинообразная модель рынка

Рассмотрим простейшую динамическую модель рынка некоторого товара. В этой модели предполагается, что объем спроса в любой текущий момент времени зависит от уровня цены этого периода – , а предложение реагирует на изменение цены с некоторым запаздыванием и зависит от уровня цены в предыдущем периоде – . Обозначим через и объемы спроса и предложения в период , тогда и . Следующее предположение модели состоит в том, что изменение цены во времени происходит таким образом, что текущий спрос равняется текущему предложению, т.е. или . Чтобы упростить анализ этого уравнения, предположим, что

.

Подставив эти выражения в уравнение , получим уравнение , которые вместе с равенствами образует так называемую паутинообразную модель рынка. Предположим, что существуют , тогда, переходя в последнем уравнении к пределу при , получим или . Отсюда найдем . Можно показать, что если и существуют , то существует и В этом случае называется предельным значением равновесных цен .

Пример

Найти предельное значение равновесных цен в паутинообразной модели рынка, если

►Найдем и , т.к. и определены, то Þ – предельное значение равновесных цен определено ◄

ВОПРОСЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

1. Что называется действительным, комплексным числом?

2. Что называется действительной и мнимой частью, модулем и аргументом комплексного числа?

3. Что называется алгебраической, тригонометрической и показательной формами записи комплексного числа?

4. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?

5. По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами? Напишите формулу Муавра.

6. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

7. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

8. Какая функция называется периодической, четной, сложной? Приведите примеры.

9. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

10. Сформулируйте определение предела последовательности, предела функции в точке и предела функции на бесконечности.

11. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?

12. Сформулируйте определение ограниченной функции. Докажите теорему об ограниченности функции, имеющей предел.

13. Какая величина называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

14. Какая величина называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?

15. Докажите основные теоремы о пределах функции?

16. Докажите первый и второй замечательный пределы.

17. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?

18. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

19. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой. Какие бесконечно малые называются эквивалентными. Сформулируйте их свойства. Приведите примеры.

[1] Вейерштрасс Карл (1815 – 1897) – выдающийся немецкий математик.

[2] Больцано Бернард (1781 – 1848) – чешский математик, философ, логик.

[3] Коши Огюстен (1789 – 1857) – выдающийся французский математик.