Теорема. Будь-яка площина у тривимірному просторі визначається лінійним рівнянням (3). Кожному лінійному рівнянню при відповідає в цьому просторі деяка площина.

ПЛОЩИНА ТА ПРЯМА В ПРОСТОРІ

ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ

Виведемо рівняння площини у тривимірному просторі, узявши точку на цій площині і вектор , перпендикулярний до неї (вектор нормалі). Нехай – довільна точка на площині. Ця точка належить площині тоді і тільки тоді, коли вектор перпендикулярний до вектора (рис. 1).

Рис. 1

Умова перпендикулярності вектора до вектора подається у вигляді

. (1)

Дістали рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора .

Якщо позначимо сталу величину

, (2)

То рівняння (1) набере вигляду

. (3)

Це рівняння називається загальним рівнянням площини.

Рівняння (3) є лінійним відносно координат .

Справджується така теорема.

Теорема. Будь-яка площина у тривимірному просторі визначається лінійним рівнянням (3). Кожному лінійному рівнянню при відповідає в цьому просторі деяка площина.

В загальному рівнянні площини коефіцієнти при є проекціями вектора, перпендикулярного до площини цієї площини.

За допомогою векторів , , запишемо рівняння площині у векторній формі: , або .

Розглянемо функцію трьох змінних .

За допомогою цієї функції увесь простір можна розбити на два півпростори: в одному виконується нерівність , а в іншому – нерівність . На площині, яка розмежовує ці підпростори, виконується рівність .