Учет фактора времени в расчетах эффективности

При оценке того или иного инвестиционного решения сопоставляются затраты и результаты, осуществляемые в разные моменты времени. Перед сложением и сопоставлением потоков денежных средств эти потоки приняты в сопоставляемый вид, или “проводить” к определенному моменту времени. Таким моментом может быть дата принятия решения об инвестировании, дата регистрации предприятия, дата начала строительства.*

Процесс роста основной суммы вклада за счет накопления процентов называется начислениемсложного процента. Сумма полученная в результате накопления процента, называется наращенной или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. При этом, первоначальная сумма вклада называется текущей, настоящей, сегодняшней стоимостью.

Если текущую стоимость обозначить через PV (prezent value), будущую стоимость через FV (future value), ставку процента через r, число периодов через f , получим

FV = PV (1 + r)^t (4.1)

Коэффициент (1 + r)^t называют коэффициентом начисления сложных процентов.

Для инвестиционных расчетов актуальна и обратная задача: по заданной сумме, которую предлагается уплатить (или получить) через t периодов времени, определить ее стоимость с позиции сегодняшнего дня “настоящую” или текущую стоимость. Это действие (сведение будущих денежных сумм к настоящему моменту времени) называется дисконтированием (disconting).

PV = FV (1 + r)^-t (4.2)

Множитель (1 + r)^-t называется коэффициентом дисконтирования (коэффициентом текущей стоимости). Величину С_0, получаемую дисконтированием величины С_t называют текущей, современной (приведенной) величиной.

Пример 4.3. В какую сумму превратиться долг, равный 10 млн. р. через пять лет при росте по ставке сложного процента равной 5,5 % в год?

Решение: FV = PV(1 + r)^t

или FV = 10 (1 + 0,055)⁵ = 13,069 млн. р.

Пример 4.4.Какую сумму получил должник если через пять лет, после подписания контракта уплаты долг со ставкой сложного процента равной, 5,5 % в год, в сумме 13,0696 млн. р.

Решение: PV = FV (1 + r)^-t

или PV = 13,0696 (1 + 0,055)^-5 = 13,0696 * 0,765134 = 9,999 = 10,0 млн. р.

Схематически можно представить на рис. 2 начисления сложных процентов, на рис. 3 дисконтирование.

Неизвестная Известная

Известная будущая Неизвестная

будущая текущая стоимость текущая

стоимость

стоимость стоимость

PV FV PV FV

_{0 1 2 3 . . .} t Время _{0 1 2 3 . . .} t Время

Рис. 4.2. Начисления сложных Рис. 4.3. Дисконтирование

процентов

Пример 4.5. Предположим, что по проекту предполагается следующий поток денежных средств (CF). Исчислим текущую стоимость всего потока, если процентная ставка r = 0,10. Расчет покажем в табл. 4.2

Таблица 4.2.

Суммарная текущая стоимость всего потока за период Т составила

₅

Pvт = å Сft l₁ = 1875.

^t=1

Если величина ежегодных (получаемых через равные

промежутки времени) потоков одинаковы, следует записать

₅

Pvt = А (l₁ + l₂ + l₃ + l₄ + l₅) = А å l_{t .}

^t=1

Равные денежные суммы, получаемые или выплачиваемые через одинаковые промежутки времени, называют аннуитетом (annuity). Обозначим аннуитет А, прием неизменной по всему расчетному периоду Т, ставку сравнения r, получим выражения:

_{t __}1__

PVт = A å (1 + r)^t , или (4.4)

^t=1

(1 + r)^t - 1

PVт = А r (1 + r)^{t =} ААt , или (4.5)

Коэффициент [(1 + r)^t - 1] / r (1 + r)^t называют коэффициентом аннуитета, фактором аннуитета фактором Инвуда, коэффициентом сумм дисконтирования (Аt).

Превращения платежного ряда в “разовый платеж сейчас” графически покажем на рис. 4.

д.е. Неизвестная