Текущая стоимость

PV

0 1 2 34

Рис. 4.4. Текущая стоимость обычного аннуитета

Пример 4.5.Для ежегодных выплат в течение 5 лет по 500 д.е. достаточно положить в банк под процентную ставку в 10 % годовых сумму 1895 д. е. Проверим:

₅

PVт = å CFt (1 + r)^-t = А Аt

^t=1

PV = 500*3,7908 = 1895 д. е.

Представим сумму коэффициентов дисконтирования в виде следующей схемы:

А₁ = l₁

А₁ = l₁ +l₂

А₁ = l₁ +l₂ + l₃

. . .

Аn = l₁ +l₂ + . . . + ln

и используем такой подход для ответа на вопрос примера 4.6.

Пример 4.6.Плата за обучение в вузе распределена по периодам: конец 1-го года 1000 д. е., конец 2-го года - 1000 д.е.; конец 3-го года 1200 д. е.; конец 4-го года - 1200 д. е.; конец 5-го года - 1200 д. е. Найти необходимый размер первоначального вклада, достаточного для указанных платежей, если банковская ставка - 10 % годовых?

Платежи меняются по годам, поэтому используя специальные таблицы ( ) коэффициентов аннуитета факторов аннуитета (коэффициентов

_r=0,10

приведения годовой ренты) за первые два года при r = 0,1; А₂ = 1,735537.

_r=0,1

Коэффициент аннуитета за первые пять лет равен А₅ = 3,79079, следователь-

_{r=0.1 r=0,1}

но за последние три года коэффициент аннуитета составит А₅ - А₃ = 3,79079 - 1,735537 = 2,055253. Текущая приведенная стоимость складывается из двух составляющих: 1000* 1,735537 (за первые два года) и 1200*2,055253 (за последние три года), если 1735,5 + 2466,3 = 4201,8 д. е. Если в начале первого года поместить в банк сумму в 4201,8 д. е. под 10 % годовых, ее будет достаточно для оплаты обучения.

Пример 4.7. Для финансирования нового оборудования предполагается взять кредит в сумме 110 млн. р. под 100 % годовых с условием выплат равными долями в течение четырех лет.

Поставлены задача определить обязательный периодический платеж по кредиту, включающий процент и выплату части основной суммы и позволяющий погасить кредит в течение установленного срока. Поскольку процесс погашения (ликвидации) долга с течением времени называют амортизацией. Математически взнос на амортизацию кредита определяется как отношение одного платежа к основной сумме кредита. То взнос на амортизацию единицы показывает, каким будет обязательный периодический платеж по кредиту, включающий процент и выплату части основной суммы и позволяющий погасить процент в течение установленного срока. Из формулы /4.5/ получим

1_r(1 + r)^t (4/7)

Аt = PV * Аt = PV* (1 + r)-1

Графическая интерпретация взноса на амортизацию денежной единицы, превращения “разового платежа сейчас” в платежный ряд - на рис. 5.

 

Первоначальная основная

сумма

Доход на инвестиции

 

Возврат инвестицион-

суммы

0 1 2 3 . . . t t

 

Рис. 4.5. Взнос на амортизацию денежной единицы

 

Для примера 4.7. известна текущая стоимость (величина основного долга) равна 110 млн. р., вычислим величину выплат в счет погашения долга с учетом процентов:

 

1(1 + 1)⁴_16__

А = 110* (1 + 1)⁴-1 = 110* 16 - 1 = 117,333 млн. р.

Если процентная ставка уменьшится до 50 % годовых, то ежегодный платеж составит

 

0,5(1 + 0,5)⁴

А = 110* (1 + 0,5)⁴-1 = 110* 0,62308 = 68,538 млн. р.

 

Пример 4.8. Предприниматель должен за четыре года скопить 4641 доллар на покупку станка. Какие суммы ему необходимо откладывать каждый год под 10 % годовых, чтобы через четыре года купить станок стоимостью 4641 доллар?

Распределение разового платежа, который должен быть выплачен через t лет, с учетом процента, на период t лет, произведем используя фактор фонда возмещения (рис. 4.6).

Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую нужно депонировать в конце каждого периода (периодический депозит), чтобы через заданное число периодов остаток на счете составил 1 д. е. При этом учитывается процент, получаемый по депозитам. Поэтому получим:

 

___r____

А = FV * (1 + r)^t- 1 (4.8)

 

Коэффициент r:[ (1 + r)^t- 1] называют фактором фонда возмещения или коэффициентом распределения остаточной стоимости.

 

 

Доход на депозит Рассчитанная будущая

стоимость аннуитета

 

Процент

А

А

А

А А А А

1 2 3 4 Годы

 

Рис.4.6. Фактор фонда возмещения (распределение

остаточной стоимости)

Решение примера 4.8.

___ 0,10___

Ежегодный платеж составит 4641* (1 + 0,10)⁴- 1 = 4641*0,21547 = 100

 

Фактор фонда возмещения равен части от взноса на амортизацию 1 д. е., который в свою очередь состоит из слогаемых: первое - ставка процента, второе - фактор фонда возмещения, третье - возврат инвестиционной суммы (фактор фонда возмещения).

 

Доход

Доход на депозит Рассчитанная будущая

стоимость аннуитета

 

Процент

Возврат депонированной

суммы А

А

А

А А А А

Рис. 4.7. Накопление единицы за период

 

Для превращения платежного ряда в течение t лет в разовый платеж через t лет используют фактор накопления единицы за период (коэффициент остаточной, конечной стоимости). Он показывает, какой по истечении установленного срока будет стоимость серии равных взносов, депонированных в конце каждого из периодических интервалов. Будущая стоимость составит

 

(1 + r)^t- 1

FVt = A r (4.9)

 

Графически интерпритация (рис. 7) показывает, что конечная стоимость рассчитывается как сумма всех дипозитов и депонированного процента.

Пример 4.9. В инвестиционном плане предусмотрена замена оборудования через 4 года. Стоимость нового аналогичного оборудования (прогнозируется) по прогнозу составит 165 млн. р. Достаточно ли ежегодных взносов в сумме 30 млн. р. на депозит под 20 % годовых, чтобы обеспечить покупку?

Решение. Будущая стоимость платежного ряда по 30 млн. под 20 % го-

(1 + 0,20)⁴ -1

довых к концу четвертого года составит 30* 0,2 = 161,040 млн. Таким образом дефицит средств для приобретения составит 3 млн. 960 тыс. р.

Серьезной, но решающей проблемой является непостоянство ставок дисконтирования. В этом случае расчет текущей стоимости ведет по формуле

 

1___ 1_____ . . . 1______

PV = CF₁ * (1 + r₁) + CF₂* (1 + r₁)(1 + r₂) + + Cf_n* (1 + r₁). . .(1 + r_n)

 

или

 

_{n ___}CF_{t___} (4.10)

PV = å _n (4.11)

^t=1 П (1 + r_t)

^t=1

 

где r_t - cтавка дисконтирования (в долях единицы);

Cf_t - денежный поток t-го года.

Пример 4.10. Рассчитайте сегодняшнюю стоимость будущих поступлений, если предполагается, что коэффициенто дисконтирования рассчитывают из банковской ставки по долгосрочным депозитам (1-й период r₁ = 0,8; 2-й период r₂ = 0,7; 3-й период r = 0,6), а поступления по годам предполагаются: в конце 1-го - 20 млн. р.; 2-го - 40 млн. р.; 3-го - 60 млн. р.

 

Решение:

 

20__ 40______ 60_________

PV_т = 1 + 0,8 + (1 + 0,8)(1 + 0,7) + (1 + 0,8)(1 + 0,7)(1 + 0,6)

 

Pv_т = 36.4379 млн. р.

 

Примеры для закрепления изученного материала:

1. Хватит ли величины вклада, равной 1000 д. е., положенной сегодня в банк под 10 %, чтобы через 10 лет заплатить за обучение 2500 д. е.

Ответ: достаточно и меньшей суммы.

2. Предполагается взять в сумме 65 тыс. д. е. под 70 % годовых с условием выплаты равными долями в течение трех лет. Какова величина доли?

0,7(1 + 0,7)³

Ответ: 65* (1 + 0,7)³- 1 = 65 * 0,87899 = 57 тыс. д. е.

3. Определите величину внесенной в пенсионный фонд суммы, чтобы через 10 лет ежегодно выплачивать пенсию по 5 тыс. долларов в течение 20 лет.

4. Вы решили ежегодно в течение десяти последующих лет размещать на депозит в инвестиционный фонд 2000 долларов. Ежегодно на вклад начисляют 10 %. какая сумма будет на вкладе через десять лет?

Ответ: 31880 долларов.

5. Вы разместили 50000 р. на депозит сроком на 4 года при условии начисления 200 % годовых. начисления процентов проводят каждое полугодие. Какая сумма будет на вкладе через 4 года?

Ответ: 12750 тыс. р.

6. Вы получили заем в сумме 25 млн. р. сроком на 6 лет под 80 % годовых. Сумма процентов по займу выплачивается одновременно по истечении срока. Какая сумма будет возвращена кредитору?

Ответ: 1031,75 млн. р.

7. Вы планируете начать новый проект, начальные инвестиции в который составят 90 млн. р. Необходимо определить ценность будущих поступлений по отношению к сегодняшнему дню. Предполагаемая ставка банковского процента по депозитам в ближайшие 5 лет равна 80 % годовых. Планируются поступления: первый год 120 млн. р., второй - 78 млн. р., третий - 75 млн. р.

Ответ: следует от проекта отказаться.

8. Инвестиции в переоборудование здания под гостиницу составили 8 млн. долларов, а планируемый размер поступлений от эксплуатации гостиницы в течение первого года равен 1 млн. долларов, в течение второго года 2 млн. долларов, а с третьего по десятый равномерные ежегодные поступления составят 3 млн. долларов. Ставка процентов по депозитам 10 %. Выгодно ли вложение?

Рекомендации: Для рассчета разницы поступлений и платежей предварительно приведите их к настоящему уровню: поступления 1-го и 2-го года - методом дисконтирования, с 3-го по 10-й годы - методом аннуитета.

9. Достаточна ли ежегодно помещать на депозит сумму в 1000 д. е. под 8 % годовых для оплаты покупки стоимостью 7000 д. е. через 6 лет?

Ответ: сумма на вкладе составит 7335,9 д. е.

10. Каким должн быть ежегодный платеж в погашение кредита: а) в 1000 д. е.; б) в 2000 д. е., предоставленного под 10 % годовых на четыре года. Составьте график амортизации.

11. Фирма “Олсам” берет кредит в 100 млн. р. подлежащий погашени. ежегодными равными взносами в конце каждого года на протяжении 5 лет. Годовая ставка составляет 10 %. Каким должен быть каждый годовой платеж?

12. Фирма “Олсам” берет кредит в 100 млн. р., подлежащий пога-шению за 12 месяцев равными платежами в конце каждого месяца. Каким должен быть ежемесячный платеж, если годовая ставка составляет 36 %?

Вопросы для самопроверки:

1. Как соотносятся простой процент и сложный процент?

2. Объясните понятие “Стоимость денег” с учетом фактора времени.

3. Какие основные факторы определяют стоимость ожидаемого будущего дохода?

4. Как соотносятся будущая стоимость и текущая стоимость?

5. В чем смысл дисконтирования?

6. Дайте определение обычного аннуитета.

7. Как соотносятся взнос на амортизацию единицы и фактор аннуитета?

8. Как соотносятся накопление единицы за период и фактор фонда возмещения?

9. Как при оценке денежных потоков учесть изменение ставки дисконтирования по годам?