Частные производные и дифференциалы

Пусть дана z=f(x;y). Дадим переменной х приращение х. Тогда функция z=f(x;y) получит некоторое приращение только за счет приращения х. Обозначим его значком _хz и назовем частным приращением. Естественно, _хz= f(x+ х;y)- f(x;y). Аналогичные приращения можно записать при изменении других переменных.

Опред. Частной производной от функции по данному аргументу называют предел отношения частного приращения функции к вызвавшеме его приращению аргумента , если последнее стремится к нулю.

Символически это факт записывают по разному : z’_x ; f’_x ; ; ; и т.д. Обратите внимание – в третьей и четвертой записях не записано отношение, а записан один символ! Читается всегда так ”частная производная от … по …”. Неверно читать “ дэ от … по дэ…”.

Распространим на частую производную известный геометрический ее смысл – частная производная характеризуют скорость изменения функции в направлении выбранной координатной оси.

Теорема(необходимое условие существования ЧП). Если f(x;y) имеет ЧП в данной точке, то функция непрерывна в этой точке.

Док. По определению f’_x = . Используя связь предела с бесконечно малой величиной получим _хz= f’_x х+ х. Если теперь подсчитать пределы обеих частей полученного равенства, то получим одно из определений непрерывной в точке функции.

Опред. Главная часть частного приращения функции, линейная относительно частного приращения аргумента называется частным дифференциалом функции и обозначается d_xz= f’_x х или d_xz= f’_x dх.

Пусть дана f(x;y). При переходе от точки М к точке Мо эта функция получит приращение z, которое в отличие от частного следует называть полным приращением функции.

Опред. Если z удается представить в виде А х+В у+ х+ у, то говорят, что z=f(x;y) дифференцируема, а выражение А х+В у называют полным дифференциалом и обозначают dz.

Выведем формулу для вычисления полного дифференциала. Имеем z= =f(x+ х;y+ у)- f(x;y)= f(x+ х;y+ у) - f(x;y+ у) + f(x;y+ у) - f(x;y)= f(x+ х;y+ у)- f(x;y+ у) +(f(x;y+ у)- f(x;y)). Для каждой разности применим формулу Лагранжа конечных отношений и получим z= f’_x(C₁;y+ у) х+ f’_y(x;C₂) у, где точки C₁ и C₂ расположены на участках приращения переменных. Но, т.к. f’_x(C₁;y+ у)= f’_x(х;y) и f’_y(x;C₂) = f’_у(х;y), то из связи пределов с бесконечно малыми получаем

z= f’_x(х;y) х+ f’_у(х;y) у+ х+ у (5.1)

Отсюда видно, что dz= А х+В у= f’_x(х;y) х+ f’_у(х;y) у= f’_x(х;y)dх+ f’_у(х;y)d у. Т.е . полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов.

Полный дифференциал удобно применять в вычислениях.

Пример 5.1. Вычислите приближенно 1,01 ^2,03 . Решение. Подберем подходящую по виду функцию z=x^y . Возьмем точку Мо достаточно близкую к точке М(1,01; 2,03) и такую, чтобы легко можно было вычислить значение функции в этой точке. Такой будет Мо(1;2). Тогда z(Мо)=1. При переходе от точки Мо к точке М функция получит некоторое приращение z, которое мы не знаем. Но можем вычислить приближенно, заменив полным дифференциалом dz(Mo). Получаем z=dz= f’_x(х;y) х+ f’_у(х;y) у. Найдем частные производные функции в точке Мо. f’_x(Мо) = y x^y-1 =1. f’_y(Мо) =x^ylnx=0.

х=1,01-1=0,01; у=2,03-2=0,03. Получаем z=1(0,01)+0(0,03)=0,01. Окончательно 1,01 ^2,03 =1+0,01=1,01.