Производная по направлению и градиент

Уже известно, что частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующей координатной оси. Попытаемся вычислить скорость изменения функции в произвольном направлении.

Опред. Производной по направлению вектора = от функции f(x;y) называют . Обозначают производную по направлению . Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Пусть . Тогда х= Cos и у= Sin . Имеем с точностью до бесконечно малых порядка малости более высокого , чем х, равенство z= =f’_x(х;y) х+ f’_у(х;y) у= f’_x(х;y) Cos + f’_у(х;y) Sin . Разделим последнее равенство на и вычислим указанный в определении предел. Получим окончательно = f’_x(х;y)Cos + f’_у(х;y)Sin производную по направлению. Т.к. =90^о - , то можно использовать направляющие косинусы вектора = и выражение для производной по направлению примет вид

= f’_x(х;y)Cos + f’_у(х;y)Сos (5.2)

Если же требуется вычислить производную по направлению для функции трех переменных, то получим формулу

= f’_x(х;y;z)Cos + f’_у(х;y;z)Сos + f’_z(х;y;z)Сos .

Мы видим, что записанное справа выражение похоже на скалярное произведение двух векторов, один из которых единичный направления = . Для второго вектора введем обозначение

grad f(x;y;z)= f’_x(х;y;z) + f’_у(х;y;z) + f’_z(х;y;z) (5.3)

Т.о. = grad f(x;y;z) = grad f(x;y;z) Cosф= grad f(x;y;z) Cosф откуда следует, что grad f указывает направление наибыстрейшего изменения поля. Это весьма важная физическая характеристика поля. Позже получим некоторые характеристики самого градиента.